Lý Thuyết Hàm Số Liên Tục - Toán 11 Kết Nối Tri Thức

Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Hàm số liên tục - Toán 11 Kết nối tri thức

Hàm số liên tục là một khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong chương trình Kết nối tri thức.

Nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài tập trong SGK mà còn là bước đệm vững chắc cho các kiến thức nâng cao hơn về giải tích.

Tusach.vn xin giới thiệu tài liệu tổng hợp đầy đủ và chi tiết về lý thuyết hàm số liên tục, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)chứa điểm \({x_0}\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).

Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).

*Nhận xét:

- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \) và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

3. Một số tính chất cơ bản

Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:

a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).

b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(g({x_0}) \ne 0\).

Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Kết nối tri thức 1

Lý Thuyết Hàm Số Liên Tục - Toán 11 Kết Nối Tri Thức: Tổng Quan Chi Tiết

Hàm số liên tục là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong giải tích. Hiểu rõ về hàm số liên tục giúp học sinh nắm vững nền tảng toán học, phục vụ cho việc học tập ở các lớp cao hơn và ứng dụng vào thực tế.

1. Định Nghĩa Hàm Số Liên Tục

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu:

f(x₀) xác định (tức là x₀ thuộc tập xác định của f(x)).
lim_x→x₀f(x) tồn tại.
lim_x→x₀f(x) = f(x₀).

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

2. Các Tính Chất Của Hàm Số Liên Tục

Các hàm số sau đây là liên tục trên tập xác định của chúng:

Hàm đa thức.
Hàm phân thức hữu tỷ (tức là tỷ số của hai đa thức) tại các điểm mà mẫu số khác 0.
Hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot) tại các điểm mà chúng xác định.
Hàm căn thức bậc chẵn.

Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x₀ thì:

f(x) + g(x) liên tục tại x₀.
f(x) - g(x) liên tục tại x₀.
f(x) * g(x) liên tục tại x₀.
f(x) / g(x) liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

3. Các Dấu Hiệu Nhận Biết Hàm Số Liên Tục

Để kiểm tra tính liên tục của hàm số tại một điểm, ta có thể sử dụng các dấu hiệu sau:

Nếu hàm số được xác định bởi một công thức đơn giản (như các hàm số cơ bản) thì nó thường liên tục trên tập xác định của nó.
Nếu hàm số được xác định bởi nhiều công thức khác nhau trên các khoảng khác nhau, ta cần kiểm tra tính liên tục tại các điểm nối giữa các khoảng.

4. Ứng Dụng Của Hàm Số Liên Tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Giải các bài toán về giới hạn và đạo hàm.
Chứng minh các định lý trong giải tích.
Mô tả các hiện tượng vật lý và kỹ thuật.

5. Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x² + 1 tại điểm x = 2.

Bài 2: Tìm các điểm gián đoạn của hàm số f(x) = 1 / (x - 1).

Bài 3: Chứng minh rằng hàm số f(x) = sin(x) liên tục trên tập số thực.

Tusach.vn hy vọng tài liệu này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết hàm số liên tục và áp dụng kiến thức vào giải các bài tập một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!