Chương IX: Đạo hàm - Tổng quan chi tiết
Đạo hàm là một khái niệm then chốt trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại một điểm. Hiểu rõ về đạo hàm là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán trong toán học, vật lý, kinh tế và các lĩnh vực khác.
1. Định nghĩa đạo hàm
Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x = a, ký hiệu là f'(a), được định nghĩa là giới hạn của tỷ số thay đổi của hàm số khi Δx tiến tới 0:
f'(a) = lim (Δx→0) [f(a + Δx) - f(a)] / Δx
Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) khả vi tại x = a.
2. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản
Việc tính đạo hàm trực tiếp từ định nghĩa có thể phức tạp. Do đó, chúng ta sử dụng các quy tắc đạo hàm để đơn giản hóa quá trình này:
- Đạo hàm của hằng số: (c)' = 0
- Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xn)' = nxn-1
- Đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
- Đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'
- Đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v2
- Đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
3. Đạo hàm của các hàm số thường gặp
Dưới đây là đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos2(x) |
| ex | ex |
| ln(x) | 1/x |
4. Ứng dụng của đạo hàm
Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng:
- Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm bằng 0 tại các điểm cực trị.
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
- Giải quyết các bài toán tối ưu: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong một khoảng cho trước.
- Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
5. Bài tập minh họa
Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1
Giải: f'(x) = 6x + 2
Bài tập 2: Tìm cực trị của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2
Giải: f'(x) = 3x2 - 6x. Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2. Sử dụng dấu của f'(x) để xác định cực trị.
Chương IX. Đạo hàm là một bước quan trọng trong việc xây dựng nền tảng toán học vững chắc. Việc nắm vững các khái niệm và quy tắc trong chương này sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải quyết bài tập.
