Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 24: Phép Chiếu Vuông Góc và Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng

Bài 24 trong chương trình Hình học không gian lớp 11 là một bài học quan trọng, đặt nền móng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài học này xoay quanh hai khái niệm chính: phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào lý thuyết, công thức và các bài tập minh họa để hiểu rõ hơn về hai khái niệm này.

I. Phép Chiếu Vuông Góc

1. Định nghĩa: Phép chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm H sao cho MH vuông góc với (P). Kí hiệu: H = H_M.

2. Tính chất:

• Với mọi điểm M không thuộc (P), có duy nhất một điểm H_M là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
• Nếu M thuộc (P) thì H_M = M.
• Độ dài đoạn thẳng MH là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

3. Ứng dụng: Phép chiếu vuông góc được sử dụng để xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, từ đó giải quyết nhiều bài toán về hình học không gian.

II. Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng

1. Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc d' của nó lên mặt phẳng (P). Kí hiệu: φ.

2. Tính chất:

• 0° ≤ φ ≤ 90°.
• Nếu d vuông góc với (P) thì φ = 0°.
• Nếu d song song với (P) thì φ = 90°.

3. Công thức tính góc:

sin φ = d' / d, trong đó d' là độ dài hình chiếu của d lên (P) và d là độ dài của d.

III. Bài Tập Minh Họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Giải: Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là góc SAO, với O là giao điểm của AC và BD. Ta có AO = a√2 / 2. Do đó, tan SAO = SA / AO. Nếu SA = a thì góc SAO = 45°.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

Giải: Gọi H là hình chiếu của B lên SC. Khi đó, BH vuông góc với SC. Góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) là góc giữa SB và SH. Ta có SH = SB² / SC. Từ đó tính được góc cần tìm.

IV. Lưu Ý Quan Trọng

• Luôn vẽ hình để hình dung rõ bài toán.
• Xác định chính xác hình chiếu vuông góc của điểm hoặc đường thẳng lên mặt phẳng.
• Sử dụng các công thức và tính chất một cách linh hoạt để giải quyết bài toán.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập minh họa trên, các bạn đã nắm vững nội dung Bài 24: Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán hình học không gian của mình. Chúc các bạn học tốt!