Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán lớp 10. Nó mở rộng khái niệm lũy thừa nguyên dương sang cả số mũ thực, cho phép chúng ta biểu diễn và tính toán các biểu thức phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về lũy thừa với số mũ thực, bao gồm định nghĩa, tính chất, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.

1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực

Với a là một số thực dương và α là một số thực bất kỳ, lũy thừa của a với số mũ α, ký hiệu là a^α, là một số thực duy nhất được xác định bởi các tính chất sau:

• Nếu α là số nguyên dương, a^α = a × a × ... × a (α lần)
• Nếu α = 0, a⁰ = 1 (với a ≠ 0)
• Nếu α là số nguyên âm, a^α = 1 / a^-α
• Nếu α là phân số m/n (với m là số nguyên và n là số nguyên dương), a^m/n = ⁿ√a^m

Lưu ý: a phải là số thực dương để lũy thừa với số mũ thực có nghĩa.

2. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực tuân theo các tính chất sau:

1. a^x × a^y = a^x+y
2. a^x / a^y = a^x-y
3. (a^x)^y = a^xy
4. (a × b)^x = a^x × b^x
5. (a / b)^x = a^x / b^x

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính 2^3.5

2^3.5 = 2^7/2 = √(2⁷) = √128 = 8√2 ≈ 11.31

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức 3² × 3^-1

3² × 3^-1 = 3^2+(-1) = 3¹ = 3

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

• 5^2.5
• (1/2)^-3
• 4^0.5

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

• 2³ × 2^-2
• (3²)^-1
• 5² / 5^-1

Bài 3: Giải phương trình: 2^x = 8

5. Ứng dụng của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Tài chính: Tính lãi kép, tăng trưởng kinh tế.
• Khoa học: Mô tả sự phân rã phóng xạ, sự tăng trưởng dân số.
• Kỹ thuật: Tính toán các đại lượng trong điện, cơ học.

Hiểu rõ về lũy thừa với số mũ thực là nền tảng quan trọng để học tập và làm việc trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng liên quan đến chủ đề này.