Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương VII của chương trình Hình học không gian lớp 11 (và thường được nhắc lại trong chương trình lớp 12) xoay quanh một khái niệm then chốt: quan hệ vuông góc. Đây là nền tảng để giải quyết rất nhiều bài toán về hình học không gian, từ đơn giản đến phức tạp. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về chương này, bao gồm các định nghĩa, tính chất, định lý quan trọng, và hướng dẫn giải bài tập.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

• Định nghĩa: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) ký hiệu là d ⊥ (P).
• Điều kiện:d ⊥ (P) khi và chỉ khi d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
• Hệ quả: Nếu d ⊥ (P) thì d vuông góc với mọi mặt phẳng chứa (P).

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta cần tìm một đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng đó.

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau ký hiệu là (P) ⊥ (Q).
• Điều kiện: (P) ⊥ (Q) khi và chỉ khi có một đường thẳng d vuông góc với cả (P) và (Q).
• Hệ quả: Nếu (P) ⊥ (Q) thì mọi đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với (Q).

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90°.

• Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 90° sao cho d tạo với hình chiếu của nó trên (P) một góc α.
• Cách tính: Sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông tạo bởi đường thẳng, hình chiếu của nó và một đoạn vuông góc từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó tại giao tuyến của chúng. Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90°.

• Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 90° giữa hai đường thẳng vuông góc với (P) và (Q) tại giao tuyến của chúng.
• Cách tính: Sử dụng các công thức tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SA và (ABCD) bằng 90°.

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B. Tính độ dài đoạn AB biết khoảng cách từ A đến (Q) là 3 và khoảng cách từ B đến (P) là 4.

Giải: Gọi C là hình chiếu của A lên (Q) và D là hình chiếu của B lên (P). Khi đó AC = 3 và BD = 4. Vì (P) ⊥ (Q) nên tứ giác ACBD là hình chữ nhật. Do đó, AB = CD = √(AC² + BD²) = √(3² + 4²) = 5.

6. Lời khuyên khi học chương này

• Nắm vững định nghĩa: Hiểu rõ các định nghĩa về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
• Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
• Vẽ hình: Vẽ hình minh họa giúp bạn hình dung rõ hơn về bài toán và tìm ra hướng giải quyết.
• Sử dụng tài liệu tham khảo: Tham khảo thêm các tài liệu, sách giáo khoa, và trang web uy tín để bổ sung kiến thức.

Tusach.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và hữu ích về Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian. Chúc bạn học tập tốt!