Lý Thuyết Cấp Số Nhân - Toán 11 Kết Nối Tri Thức

Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Cấp số nhân - Nền tảng Toán 11 Kết nối tri thức

Cấp số nhân là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức liên quan là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.

Tại tusach.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và chi tiết về Lý thuyết Cấp số nhân, giúp bạn dễ dàng tiếp thu và ứng dụng kiến thức.

1. Định nghĩa

1. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi

\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)

* Chú ý: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).

2. Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Kết nối tri thức 1

Lý Thuyết Cấp Số Nhân - SGK Toán 11 Kết Nối Tri Thức: Giải Mã Toàn Diện

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán trong toán học và ứng dụng thực tế.

1. Định Nghĩa Cấp Số Nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho:

u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các Dạng Cấp Số Nhân Đặc Biệt

Cấp số nhân tăng: Khi q > 0 và các số hạng đều dương.
Cấp số nhân giảm: Khi 0 < q < 1 và các số hạng đều dương.
Cấp số nhân âm: Khi q < 0.

3. Công Thức Tổng Quát của Cấp Số Nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được tính bằng công thức:

u_n = u₁.q^n-1

Trong đó:

u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
q là công bội của cấp số nhân.
n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

4. Tổng của n Số Đẩu Tiên của Cấp Số Nhân

Tổng của n số đầu tiên của cấp số nhân (S_n) được tính bằng công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1, thì S_n = n.u₁

5. Tổng Của Cấp Số Nhân Vô Hạn

Tổng của cấp số nhân vô hạn (S) chỉ tồn tại khi |q| < 1 và được tính bằng công thức:

S = u₁ / (1 - q)

6. Ứng Dụng của Cấp Số Nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Lãi kép: Tính toán số tiền lãi sau một thời gian nhất định.
Sự tăng trưởng dân số: Mô hình hóa sự tăng trưởng dân số theo thời gian.
Phản ứng hạt nhân: Mô tả sự phân rã của các hạt nhân phóng xạ.

7. Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải: u₅ = u₁.q⁴ = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Bài 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và tổng của cấp số nhân vô hạn S = 2. Tính công bội q.

Giải: S = u₁ / (1 - q) => 2 = 1 / (1 - q) => 1 - q = 1/2 => q = 1/2

Bài 3: Tìm x để ba số x, x+1, x+2 lập thành một cấp số nhân.

Giải: (x+1)² = x(x+2) => x² + 2x + 1 = x² + 2x => 1 = 0 (vô lý). Vậy không có giá trị x thỏa mãn.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi!