Bài 9.5 Trang 86 Toán 11 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức

Bài 9.5 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 9.5 trang 86 SGK Toán 11 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức

Bài 9.5 thuộc chương 3: Vectơ trong không gian của SGK Toán 11 Tập 2 Kết Nối Tri Thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a)

Đề bài

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên \({L_1}\) và đoạn dốc xuống \({L_2}\) là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, \({L_1}\) và \({L_2}\) phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là \(y = a{x^2} + bx + c,\) trong đó x tính bằng mét.

Bài 9.5 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức 1

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 9.5 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức 2

Hệ số góc của tiếp tuyến là \(f'\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Vì gốc toạ độ đặt tại P nên P(0;0) do đó ta có c = y(0) = 0

b) \(y' = 2ax + b \Rightarrow y'\left( 0 \right) = b\)

Mà L₁ là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc 0,5 nên \(y'\left( 0 \right) = 0,5 \Rightarrow b = 0,5\)

c) L₂ là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc – 0,75 nên \(y'\left( {{x_Q}} \right) = 2a{x_Q} + 0,5 = - 0,75\)

Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m nên \({x_Q} - {x_P} = {x_Q} = 40\)

\( \Rightarrow 2a.40 + 0,5 = - 0,75 \Rightarrow a = \frac{{ - 1}}{{64}}\)

d) \({y_Q} = \frac{{ - 1}}{{64}}{.40^2} + 0,5.40 = - 5\)

Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là \(\left| {{y_P} - {y_Q}} \right| = 5\)

Bài 9.5 Trang 86 Toán 11 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức: Giải Chi Tiết và Hướng Dẫn

Bài 9.5 trang 86 SGK Toán 11 Tập 2 Kết Nối Tri Thức là một bài tập quan trọng trong chương Vectơ trong không gian. Bài tập này tập trung vào việc ứng dụng tích có hướng của hai vectơ để xác định góc giữa hai đường thẳng, tính diện tích tam giác và chứng minh các mối quan hệ hình học trong không gian.

Nội dung bài tập 9.5:

Bài tập yêu cầu học sinh:

Tính tích có hướng của hai vectơ cho trước.
Sử dụng tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Tính góc giữa hai đường thẳng.
Tính diện tích của một tam giác trong không gian.

Lời giải chi tiết bài 9.5:

Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Tích có hướng của hai vectơ: Cho hai vectơ a = (a₁, a₂, a₃) và b = (b₁, b₂, b₃), tích có hướng của a và b được ký hiệu là a x b và được tính theo công thức:

a x b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Ứng dụng của tích có hướng:
Tính diện tích của hình bình hành: Diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ a và b là ||a x b||.
Tính diện tích của tam giác: Diện tích tam giác tạo bởi hai vectơ a và b là 1/2 ||a x b||.
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Tích có hướng của hai vectơ nằm trong mặt phẳng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Ví dụ minh họa:

Giả sử cho hai vectơ a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6). Ta tính tích có hướng của a và b như sau:

a x b = (2*6 - 3*5, 3*4 - 1*6, 1*5 - 2*4) = (-3, 6, -3)

Từ đó, ta có thể tính độ dài của tích có hướng: ||a x b|| = √((-3)² + 6² + (-3)²) = √54 = 3√6

Mẹo giải bài tập:

Luôn kiểm tra lại các phép tính, đặc biệt là các phép tính trong công thức tích có hướng.
Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán và tìm ra hướng giải quyết.
Sử dụng các công thức và tính chất liên quan đến tích có hướng một cách linh hoạt.

Bài tập tương tự:

Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác.

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 9.5 trang 86 SGK Toán 11 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.