Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Trong lý thuyết xác suất, việc tính toán xác suất của các sự kiện phức tạp thường được thực hiện bằng cách phân tích thành các sự kiện đơn giản hơn. Một trong những công cụ quan trọng nhất để thực hiện điều này là công thức nhân xác suất. Bài viết này sẽ tập trung vào trường hợp đặc biệt: công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

1. Biến cố độc lập là gì?

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Nói cách khác, P(B|A) = P(B) và P(A|B) = P(A). Ví dụ:

• Ví dụ 1: Tung đồng xu hai lần. Kết quả của lần tung đầu tiên không ảnh hưởng đến kết quả của lần tung thứ hai.
• Ví dụ 2: Rút một lá bài từ bộ bài, rồi trả lại bộ bài và rút tiếp một lá bài. Kết quả của lần rút đầu tiên không ảnh hưởng đến kết quả của lần rút thứ hai.

2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì xác suất để cả hai biến cố A và B cùng xảy ra được tính bằng:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B) là xác suất của biến cố B.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, rồi trả lại hộp. Sau đó, rút ngẫu nhiên một quả bóng nữa. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất màu đỏ”. P(A) = 5/8
• Gọi B là biến cố “quả bóng thứ hai màu đỏ”. P(B) = 5/8
• Vì việc rút quả bóng thứ nhất không ảnh hưởng đến việc rút quả bóng thứ hai, nên A và B là hai biến cố độc lập.
• Vậy, P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (5/8) * (5/8) = 25/64

Ví dụ 2: Tung một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để cả hai lần tung đều ra mặt 6.

Giải:

• Gọi A là biến cố “lần tung thứ nhất ra mặt 6”. P(A) = 1/6
• Gọi B là biến cố “lần tung thứ hai ra mặt 6”. P(B) = 1/6
• Vì kết quả của lần tung đầu tiên không ảnh hưởng đến kết quả của lần tung thứ hai, nên A và B là hai biến cố độc lập.
• Vậy, P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/6) = 1/36

4. Bài tập thực hành

1. Một đồng xu được tung ba lần. Tính xác suất để cả ba lần tung đều ra mặt ngửa.
2. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp (không trả lại). Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen. (Lưu ý: đây không phải là biến cố độc lập, cần sử dụng công thức nhân xác suất có điều kiện).
3. Một người bắn súng có xác suất bắn trúng mục tiêu là 0.8. Người này bắn ba phát. Tính xác suất để người này bắn trúng mục tiêu cả ba lần.

5. Kết luận

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là một công cụ hữu ích để tính toán xác suất của các sự kiện liên tiếp. Việc hiểu rõ khái niệm biến cố độc lập và cách áp dụng công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm với nhiều bài tập khác nhau để nắm vững kiến thức này nhé!

Truy cập tusach.vn để khám phá thêm nhiều bài học Toán thú vị và hữu ích!