Bài 6. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (gọi là công sai) vào số hạng đứng trước. Đây là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1. Định nghĩa và các khái niệm liên quan

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d sao cho:

• u_n+1 = u_n + d với mọi n ≥ 1

Trong đó:

• u_n là số hạng thứ n của dãy
• d là công sai của cấp số cộng

Ví dụ: Dãy số 2, 5, 8, 11, 14,... là một cấp số cộng với công sai d = 3.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của dãy
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm
• d là công sai của cấp số cộng

Ví dụ: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có u₁ = 1 và d = 2.

u₁₀ = 1 + (10 - 1) * 2 = 1 + 9 * 2 = 19

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (S_n) được tính theo công thức:

S_n = n/2 * (u₁ + u_n) hoặc S_n = n/2 * [2u₁ + (n - 1)d]

Ví dụ: Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có u₁ = 2 và d = 3.

S₁₀ = 10/2 * [2 * 2 + (10 - 1) * 3] = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho cấp số cộng có u₁ = 3 và d = -2. Tìm u₅ và S₅.

Giải:

• u₅ = u₁ + (5 - 1)d = 3 + 4 * (-2) = -5
• S₅ = 5/2 * (u₁ + u₅) = 5/2 * (3 + (-5)) = -5

Bài 2: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng (a_n) biết a₁ = 1 và a₃ = 5.

Giải:

Ta có a₃ = a₁ + 2d => 5 = 1 + 2d => d = 2

Vậy a₁₀ = a₁ + 9d = 1 + 9 * 2 = 19

5. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về cấp số cộng, cần chú ý:

• Xác định đúng số hạng đầu tiên (u₁) và công sai (d)
• Sử dụng đúng công thức để tính số hạng tổng quát và tổng của n số hạng đầu tiên
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 6. Cấp số cộng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan.