Bài 5.12 Trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 - Kết Nối Tri Thức

Bài 5.12 thuộc chương 1: Hàm số lượng giác và đồ thị của chương trình Toán 11 Tập 1 - Kết Nối Tri Thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số lượng giác, đặc biệt là hàm cosin, để giải quyết các bài toán thực tế.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Tính các giới hạn sau: a) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } frac{{1 - 2x}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}) b) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 2} - x} right))

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức 1

a) Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\) với \(n\) là số mũ lớn nhất.

b) Nhân với biểu thức liên hợp \((\sqrt A + B).(\sqrt A - B) = A - {B^2}\).

Lời giải chi tiết

Vì \(x \to + \infty \) nên \(x > 0\), suy ra \(\left| x \right| = x\).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} - 2}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{0 - 2}}{{\sqrt {1 + 0} }} = - 2\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {{x^2} + x + 2} \right) - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} + x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left[ {\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = \frac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + 1}} = \frac{1}{2}\).

Bài 5.12 Trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 - Kết Nối Tri Thức: Giải Chi Tiết và Hướng Dẫn

Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 - Kết Nối Tri Thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập:

Bài tập yêu cầu xác định tập xác định của hàm số và tìm các giá trị của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cụ thể, bài tập thường có dạng:

Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một khoảng cho trước.

Lời giải chi tiết:

Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Tập xác định của hàm số: Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số f(x) có nghĩa.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Sử dụng các phương pháp như xét dấu đạo hàm, sử dụng tính chất của hàm số lượng giác (ví dụ: -1 ≤ cos(x) ≤ 1) để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ minh họa:

Giả sử bài tập yêu cầu tìm tập xác định và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 2cos(x) + 1.

Tập xác định: Hàm số cos(x) xác định với mọi x thuộc R, do đó tập xác định của y = 2cos(x) + 1 là R.
Giá trị lớn nhất: Vì -1 ≤ cos(x) ≤ 1, suy ra -2 ≤ 2cos(x) ≤ 2. Do đó, -1 ≤ 2cos(x) + 1 ≤ 3. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi cos(x) = 1.
Giá trị nhỏ nhất: Tương tự, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1, đạt được khi cos(x) = -1.

Mẹo giải nhanh:

Để giải nhanh các bài tập về hàm số lượng giác, học sinh nên:

Nắm vững các giá trị lượng giác đặc biệt (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).
Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số về dạng đơn giản hơn.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.

Bài tập tương tự:

Để củng cố kiến thức, học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Toán 11 Tập 1 - Kết Nối Tri Thức.

Kết luận:

Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 - Kết Nối Tri Thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về hàm số lượng giác và ứng dụng của nó. Việc nắm vững kiến thức và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả.

Lưu ý: Đây chỉ là một ví dụ minh họa. Lời giải cụ thể cho bài tập 5.12 trang 118 SGK Toán 11 Tập 1 - Kết Nối Tri Thức sẽ phụ thuộc vào dạng bài tập cụ thể.