Lý Thuyết Dãy Số Toán 11 Kết Nối Tri Thức - Tối Đầy, Chính Xác

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Dãy số - Toán 11 Kết nối tri thức

Dãy số là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là chương trình Kết nối tri thức.

Nắm vững lý thuyết dãy số giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm cơ bản, các loại dãy số và các tính chất quan trọng của chúng.

Tusach.vn xin giới thiệu tài liệu tổng hợp đầy đủ và chi tiết lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức, giúp bạn học tập hiệu quả.

1. Định nghĩa dãy số

1. Định nghĩa dãy số

Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu là \(u = u\left( n \right)\).

Ta thường viết \({u_n}\) thay cho \(u\left( n \right)\) và kí hiệu dãy số \(u = u\left( n \right)\)bởi \(u\left( n \right)\), do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)

Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\)là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} = c\)thì \(\left( {{u_n}} \right)\)được gọi là dãy số không đổi.

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\).

Số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\)là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
Công thức của số hạng tổng quát.
Phương pháp mô tả.
Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức 1

Lý Thuyết Dãy Số - Toán 11 Kết Nối Tri Thức: Tổng Quan Chi Tiết

Dãy số là một khái niệm nền tảng trong toán học, đặc biệt quan trọng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết dãy số không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là bước đệm quan trọng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo.

1. Khái Niệm Cơ Bản Về Dãy Số

Một dãy số là một hàm số u được xác định trên tập hợp các số tự nhiên (hoặc một tập con của nó) và nhận giá trị là các số thực. Ký hiệu: (u_n), với u_n là số hạng thứ n của dãy số.

Số hạng của dãy số: Giá trị của hàm số u tại một số tự nhiên n.
Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng số hạng là hữu hạn.
Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng số hạng là vô hạn.

2. Các Loại Dãy Số Quan Trọng

Trong chương trình Toán 11, có hai loại dãy số đặc biệt quan trọng là cấp số cộng và cấp số nhân.

2.1. Cấp Số Cộng

Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi vào số hạng đứng trước nó. Số không đổi đó được gọi là công sai (d).

Công thức tổng quát của cấp số cộng: u_n = u₁ + (n - 1)d

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S_n = (n/2)(u₁ + u_n) hoặc S_n = (n/2)[2u₁ + (n - 1)d]

2.2. Cấp Số Nhân

Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi. Số không đổi đó được gọi là công bội (q).

Công thức tổng quát của cấp số nhân: u_n = u₁ * q^{(n - 1)}

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Nếu q ≠ 1: S_n = u₁(1 - qⁿ) / (1 - q)
Nếu q = 1: S_n = n * u₁

3. Giới Hạn của Dãy Số

Khái niệm giới hạn của dãy số là một khái niệm quan trọng trong giải tích. Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu khi n tiến tới vô cùng, các số hạng của dãy số tiến gần đến L.

Ký hiệu: lim_n→∞u_n = L

4. Ứng Dụng của Lý Thuyết Dãy Số

Lý thuyết dãy số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Tính lãi kép
Mô tả sự tăng trưởng dân số
Tính toán các khoản vay

5. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức về lý thuyết dãy số, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu là 2 và công sai là 3.
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội là 2.
Tính giới hạn của dãy số u_n = 1/n.

Tusach.vn hy vọng tài liệu này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết dãy số và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc bạn học tập tốt!

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức