Bài 9.31 Trang 98 SGK Toán 11 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức

Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức

Bài 9.31 thuộc chương trình Toán 11 Tập 2, sách Kết Nối Tri Thức, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Đồ thị của hàm số (y = frac{a}{x}) (a là hằng số dương)

Đề bài

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{a}{x}\) (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức 1

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(y' = \frac{{ - a}}{{{x^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là

\(y - \frac{a}{{{x_0}}} = \frac{{ - a}}{{x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right)\) hay \(y = \frac{{ - a}}{{x_0^2}}x + \frac{{2a}}{{{x_0}}}\)

Gọi phương trình tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A, B

\( \Rightarrow A\left( {0;\frac{{2a}}{{{x_0}}}} \right),B\left( {2{x_0};0} \right)\)

Do đó diện tích tam OAB bằng \(\frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2a}}{{{x_0}}}.2{x_0}} \right| = 2a\)

Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Bài 9.31 Trang 98 SGK Toán 11 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức: Giải Chi Tiết và Hướng Dẫn

Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 Tập 2 Kết Nối Tri Thức là một bài toán ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về đạo hàm và khả năng vận dụng vào các tình huống cụ thể. Bài toán thường liên quan đến việc tính tốc độ thay đổi của một đại lượng nào đó, ví dụ như tốc độ tăng trưởng dân số, tốc độ thay đổi của nhiệt độ, hoặc tốc độ thay đổi của sản lượng.

Nội dung bài toán (Ví dụ):

Một vật chuyển động theo quy luật s(t) = t³ - 3t² + 5t + 2, trong đó s(t) là quãng đường đi được (mét) sau thời gian t (giây). Tính vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây.

Hướng dẫn giải:

Xác định hàm vận tốc: Vận tốc của vật là đạo hàm của hàm quãng đường theo thời gian, tức là v(t) = s'(t).
Tính đạo hàm: s'(t) = 3t² - 6t + 5
Tính vận tốc tại t = 2: v(2) = 3(2)² - 6(2) + 5 = 12 - 12 + 5 = 5 (m/s)

Giải thích chi tiết:

Trong bài toán này, đạo hàm s'(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t. Việc tính đạo hàm cho phép chúng ta xác định vận tốc của vật tại bất kỳ thời điểm nào. Kết quả v(2) = 5 m/s cho biết tại thời điểm t = 2 giây, vật đang chuyển động với vận tốc 5 mét trên giây.

Các dạng bài tập tương tự:

Bài toán về tốc độ tăng trưởng dân số: Tính tốc độ tăng trưởng dân số tại một thời điểm nhất định.
Bài toán về tốc độ thay đổi của nhiệt độ: Tính tốc độ thay đổi của nhiệt độ trong một quá trình nào đó.
Bài toán về tốc độ thay đổi của sản lượng: Tính tốc độ thay đổi của sản lượng trong một quá trình sản xuất.

Mẹo giải bài tập:

Nắm vững định nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm.
Đọc kỹ đề bài để xác định đúng hàm cần tính đạo hàm.
Chú ý đến đơn vị của các đại lượng.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Ví dụ khác:

Một công ty sản xuất có chi phí sản xuất Q(x) = 0.01x³ - 0.5x² + 10x + 100, trong đó x là số lượng sản phẩm sản xuất. Tìm chi phí biên (marginal cost) khi sản xuất 10 sản phẩm.

Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí sản xuất, tức là Q'(x). Q'(x) = 0.03x² - x + 10. Khi x = 10, Q'(10) = 0.03(10)² - 10 + 10 = 3. Vậy chi phí biên khi sản xuất 10 sản phẩm là 3 đơn vị tiền tệ.

Luyện tập thêm:

Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. tusach.vn cung cấp đầy đủ các bài giải chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập Toán 11 Tập 2 Kết Nối Tri Thức.

Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức và tự tin giải các bài tập tương tự.