Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11 Kết Nối Tri Thức, kiến thức về xác suất đóng vai trò quan trọng, và công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là một trong những khái niệm cốt lõi. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết này, cung cấp các định nghĩa, công thức, ví dụ minh họa và bài tập để giúp bạn hiểu rõ và áp dụng thành thạo.

1. Biến Cố Độc Lập

Trước khi đi vào công thức nhân xác suất, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về biến cố độc lập. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Định nghĩa: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu và chỉ nếu: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Trong đó:

• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
• P(A): Xác suất của biến cố A.
• P(B): Xác suất của biến cố B.

2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là công cụ quan trọng để tính xác suất của việc cả hai biến cố cùng xảy ra. Như đã đề cập ở trên, công thức này được biểu diễn như sau:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Công thức này chỉ áp dụng khi hai biến cố A và B là độc lập. Nếu A và B không độc lập, chúng ta cần sử dụng công thức nhân xác suất có điều kiện: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) hoặc P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B).

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt hai lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn và mặt xuất hiện ở lần gieo thứ hai là số lẻ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn”. P(A) = 3/6 = 1/2
• Gọi B là biến cố “mặt xuất hiện ở lần gieo thứ hai là số lẻ”. P(B) = 3/6 = 1/2
• Vì kết quả của lần gieo thứ nhất không ảnh hưởng đến kết quả của lần gieo thứ hai, A và B là hai biến cố độc lập.
• Vậy, P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ”. P(A) = 5/8
• Gọi B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ”. P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy một quả bóng đỏ, còn lại 4 quả đỏ và tổng cộng 7 quả bóng).
• P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14

4. Bài tập áp dụng

1. Một đồng xu được gieo ba lần. Tính xác suất để cả ba lần đều xuất hiện mặt sấp.
2. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.
3. Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn ba phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu cả ba lần.

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng công thức nhân xác suất, điều quan trọng nhất là xác định xem hai biến cố có độc lập hay không. Nếu không độc lập, bạn cần sử dụng công thức nhân xác suất có điều kiện. Việc hiểu rõ điều này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách chính xác và hiệu quả.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập trong chương trình Toán 11 Kết Nối Tri Thức. Chúc bạn học tập tốt!