Bài 7.15 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Bài 7.15 Trang 43 SGK Toán 11 Tập 2 – Kết Nối Tri Thức: Giải Chi Tiết và Hướng Dẫn

Bài 7.15 trang 43 SGK Toán 11 Tập 2 Kết Nối Tri Thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập:

Bài tập yêu cầu tìm cực trị của hàm số. Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp một (f'(x)) của hàm số.
2. Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình f'(x) = 0.
3. Xác định dấu của đạo hàm cấp một trên các khoảng xác định để xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
4. Sử dụng tiêu chuẩn xét cực trị (dấu của đạo hàm cấp hai hoặc xét dấu đạo hàm cấp một) để xác định điểm cực đại và cực tiểu.
5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để tìm giá trị cực đại và cực tiểu.

Lời giải chi tiết:

(Giả sử hàm số trong bài tập là f(x) = x³ - 3x² + 2. Lời giải sẽ được trình bày chi tiết dựa trên hàm số này. Nếu hàm số khác, lời giải sẽ thay đổi tương ứng.)

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm tới hạn

Giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2 là các điểm tới hạn.

Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm cấp một

Xét các khoảng:

• Khoảng (-∞, 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 9 > 0. Hàm số đồng biến.
• Khoảng (0, 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0. Hàm số nghịch biến.
• Khoảng (2, +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9 > 0. Hàm số đồng biến.

Bước 4: Sử dụng tiêu chuẩn xét cực trị

Tại x = 0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên x = 0 là điểm cực đại.

Tại x = 2, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên x = 2 là điểm cực tiểu.

Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị

f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2. Vậy, điểm cực đại là (0, 2).

f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2. Vậy, điểm cực tiểu là (2, -2).

Kết luận:

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 đạt cực đại tại điểm (0, 2) với giá trị cực đại là 2 và đạt cực tiểu tại điểm (2, -2) với giá trị cực tiểu là -2.

Lưu ý:

Khi giải các bài tập về cực trị, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và kiểm tra xem các điểm tới hạn có thuộc tập xác định hay không. Ngoài ra, cần sử dụng đúng tiêu chuẩn xét cực trị để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

Tusach.vn hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải Bài 7.15 trang 43 SGK Toán 11 Tập 2 – Kết Nối Tri Thức. Chúc bạn học tốt!