Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 21: Phương trình, Bất phương trình Mũ và Lôgarit - Tổng quan và Phương pháp giải

Bài 21 trong chương trình Toán 12 là một chủ đề quan trọng, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về hàm mũ, hàm lôgarit và các tính chất của chúng. Việc giải các phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit không chỉ giúp học sinh củng cố lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững

• Hàm mũ: Định nghĩa, tính chất đơn điệu, đồ thị.
• Hàm lôgarit: Định nghĩa, tính chất, điều kiện xác định, đồ thị.
• Các tính chất của logarit: log_a(b.c) = log_ab + log_ac, log_a(b/c) = log_ab - log_ac, log_abⁿ = n.log_ab.
• Đổi cơ số logarit: log_ab = log_cb / log_ca.
• Phương trình mũ cơ bản: a^x = b (với a > 0, a ≠ 1).
• Phương trình lôgarit cơ bản: log_ax = b (với a > 0, a ≠ 1, x > 0).

II. Phương pháp giải phương trình mũ

1. Đưa về cùng cơ số: Nếu có thể, hãy đưa phương trình về cùng một cơ số để dễ dàng so sánh và giải.
2. Lấy logarit hai vế: Sử dụng logarit để loại bỏ số mũ.
3. Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình.
4. Sử dụng các tính chất của hàm mũ: Ví dụ, a^x = a^y suy ra x = y (với a > 0, a ≠ 1).

III. Phương pháp giải bất phương trình mũ

Tương tự như phương trình mũ, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Đưa về cùng cơ số: So sánh số mũ khi cơ số giống nhau.
• Lấy logarit hai vế: Lưu ý rằng khi lấy logarit một bất phương trình, cần đảm bảo cơ số lớn hơn 1 để chiều bất đẳng thức không thay đổi.
• Xét hàm số: Nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số mũ để giải bất phương trình.

IV. Phương pháp giải phương trình lôgarit

1. Đưa về dạng cơ bản: Sử dụng các tính chất của logarit để đưa phương trình về dạng log_ax = b.
2. Kiểm tra điều kiện xác định: Đảm bảo rằng các biểu thức trong logarit đều dương.
3. Sử dụng đổi cơ số logarit: Khi cần thiết, hãy đổi cơ số logarit để đơn giản hóa phương trình.

V. Phương pháp giải bất phương trình lôgarit

Giải bất phương trình lôgarit cần chú ý đến điều kiện xác định và chiều bất đẳng thức:

• Nếu cơ số a > 1: Bất phương trình log_ax > b tương đương với x > a^b.
• Nếu cơ số 0 < a < 1: Bất phương trình log_ax > b tương đương với 0 < x < a^b.

VI. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình 2^x+1 = 8

Giải: 2^x+1 = 2³ => x + 1 = 3 => x = 2

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log₂(x - 1) > 3

Giải: Điều kiện: x - 1 > 0 => x > 1. log₂(x - 1) > 3 => x - 1 > 2³ => x - 1 > 8 => x > 9. Kết hợp điều kiện, ta có x > 9.

Tusach.vn hy vọng với những kiến thức và phương pháp trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit. Chúc bạn học tốt!