Bài 7. Cấp số nhân

Bài 7. Cấp số nhân - Giải thích chi tiết và bài tập

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi, gọi là công bội. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về cấp số nhân, bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức và các ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = 0 thì u_n = 0 với mọi n.
• Nếu u₁ ≠ 0 và q = 1 thì u_n = u₁ với mọi n.
• Nếu u₁ ≠ 0 và q = -1 thì u_n có giá trị xen kẽ dương và âm.

3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁.q^n-1

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
• q là công bội của cấp số nhân.
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

4. Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (S_n) được tính theo công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1 thì S_n = n.u₁

5. Ví dụ minh họa

Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 5: u₅ = u₁.q⁴ = 2.3⁴ = 162
• Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = u₁.(1 - q⁵) / (1 - q) = 2.(1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2.(1 - 243) / (-2) = 242

6. Bài tập luyện tập

1. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có u₁ = 5 và q = 2.
2. Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = -2.
3. Một hình vuông có cạnh bằng 1. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông để tạo thành một hình vuông mới. Tiếp tục quá trình này. Tính diện tích của hình vuông thứ 5.

7. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính lãi kép trong ngân hàng.
• Tính sự tăng trưởng dân số.
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 7. Cấp số nhân. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.