Giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Tổng quan nội dung
Giải bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức
Bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập này một cách hiệu quả.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) v
Đề bài
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) và số đo của góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \({45^ \circ }\).
a) Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
b) Tính theo \(a\) thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tính theo a khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
- Dựng \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\)
- Chứng minh \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).
- Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\) suy ra tam giác \(AHA'\)vuông cân.
- Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\) tính \(BC\).
- \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}}\).
- \(AK = \frac{1}{2}A'H\).
b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\).
\({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA'\)
Lời giải chi tiết
a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\) thì \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).
Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\).
Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC} = 7{a^2}\), suy ra \(BC = a\sqrt 7 \).
Do đó \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}a\).
Vì tam giác \(AHA'\) vuông cân tại \(A\) nên \(AK = \frac{{A'H}}{2} = \frac{{AH\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).
Vậy \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).
b) Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) là \({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot AA' = \frac{{27\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}\)
Giải bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu
Bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh tìm đạo hàm của hàm số và xác định các điểm cực trị. Đây là một bài tập điển hình để củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc phân tích hàm số.
Đề bài:
Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm đạo hàm f'(x) và xác định các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
- Tính đạo hàm f'(x):
- Tìm các điểm cực trị:
- Xác định loại điểm cực trị:
- Khi x < 0: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
- Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
- Khi x > 2: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
- Tại x = 0, hàm số đạt cực đại. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
- Tại x = 2, hàm số đạt cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định:
Từ đó, ta kết luận:
Kết luận:
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0, 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2, -2).
Mở rộng kiến thức:
Để hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức. Ngoài ra, việc nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm một cách hiệu quả.
Lưu ý khi giải bài tập:
- Luôn kiểm tra lại kết quả đạo hàm để tránh sai sót.
- Sử dụng bảng xét dấu đạo hàm để xác định chính xác loại điểm cực trị.
- Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm trong việc phân tích sự biến thiên của hàm số.
Tusach.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức và tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự.