Bài 29. Công thức cộng xác suất

Bài 29: Công thức cộng xác suất

Trong lý thuyết xác suất, công thức cộng xác suất là một công cụ cơ bản để tính xác suất của một biến cố phức tạp. Biến cố phức tạp ở đây là biến cố có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau, không loại trừ lẫn nhau.

1. Biến cố và không gian mẫu

Trước khi đi vào công thức, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về biến cố và không gian mẫu. Biến cố là một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một thí nghiệm ngẫu nhiên. Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của thí nghiệm đó.

2. Công thức cộng xác suất cho các biến cố không loại trừ lẫn nhau

Nếu A và B là hai biến cố không loại trừ lẫn nhau (tức là chúng có thể xảy ra đồng thời), thì xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra được tính bằng:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B) là xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra.
• P(A) là xác suất của biến cố A xảy ra.
• P(B) là xác suất của biến cố B xảy ra.
• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B xảy ra đồng thời.

3. Công thức cộng xác suất cho các biến cố loại trừ lẫn nhau

Nếu A và B là hai biến cố loại trừ lẫn nhau (tức là chúng không thể xảy ra đồng thời), thì xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra được tính bằng:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một quả bóng đỏ. Khi đó, biến cố đối của A là A' (lấy được 2 quả bóng xanh).

P(A') = (C₃²) / (C₈²) = 3/28

P(A) = 1 - P(A') = 1 - 3/28 = 25/28

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số chia hết cho 3.

Giải:

Gọi A là biến cố mặt xuất hiện là số chẵn. A = {2, 4, 6} => P(A) = 3/6 = 1/2

Gọi B là biến cố mặt xuất hiện là số chia hết cho 3. B = {3, 6} => P(B) = 2/6 = 1/3

A ∩ B = {6} => P(A ∩ B) = 1/6

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3

5. Bài tập luyện tập

1. Một túi chứa 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen và 2 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng từ túi. Tính xác suất để lấy được quả bóng trắng hoặc quả bóng đen.
2. Gieo hai con xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc là 7 hoặc 11.

6. Kết luận

Công thức cộng xác suất là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp. Việc nắm vững công thức và hiểu rõ các khái niệm liên quan sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc ứng dụng lý thuyết vào thực tế.