Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương II của chương trình Toán học, đặc biệt là ở lớp 10 và 11, đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao. Chương này tập trung vào việc nghiên cứu về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – những khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1. Dãy số

Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng. Dãy số có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5 là một dãy số hữu hạn, còn 1, 2, 3,... là một dãy số vô hạn.

2. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (gọi là công sai) vào số hạng đứng trước. Công thức tổng quát của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n-1)d, trong đó:

• u_n là số hạng thứ n
• u₁ là số hạng đầu tiên
• d là công sai
• n là số thứ tự của số hạng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính bằng công thức: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

3. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi (gọi là công bội). Công thức tổng quát của cấp số nhân là: u_n = u₁ * q^(n-1), trong đó:

• u_n là số hạng thứ n
• u₁ là số hạng đầu tiên
• q là công bội
• n là số thứ tự của số hạng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính bằng công thức:

• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
• Nếu q = 1: S_n = n * u₁

4. Ứng dụng của Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, bao gồm:

• Tài chính: Tính lãi kép, trả góp, các khoản đầu tư.
• Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
• Tin học: Thuật toán, lập trình.
• Thống kê: Phân tích dữ liệu, dự đoán xu hướng.

5. Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Giải: u₁₀ = u₁ + (10-1)d = 2 + 9*3 = 29

Bài 2: Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2.

Giải: S₂₀ = u₁ * (1 - q²⁰) / (1 - q) = 1 * (1 - 2²⁰) / (1 - 2) = 2²⁰ - 1 = 1048575

6. Luyện tập và ôn tập tại Tusach.vn

Tusach.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, kèm theo đáp án chi tiết và lời giải dễ hiểu. Bạn có thể luyện tập trực tuyến, kiểm tra kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình. Ngoài ra, chúng tôi còn cung cấp các bài giảng video, tài liệu tham khảo và các mẹo giải toán hữu ích để giúp bạn học tập hiệu quả hơn. Hãy truy cập tusach.vn ngay hôm nay để bắt đầu hành trình chinh phục môn Toán!