Chương IX: Đạo hàm - Tổng quan chi tiết
Đạo hàm là một khái niệm then chốt trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại một điểm. Hiểu rõ về đạo hàm là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán trong toán học, vật lý, kinh tế và các lĩnh vực khác.
1. Định nghĩa đạo hàm
Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x = a, ký hiệu là f'(a), được định nghĩa là giới hạn:
f'(a) = lim (h -> 0) [f(a + h) - f(a)] / h
Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) khả vi tại x = a. Đạo hàm f'(x) là một hàm số mới, mô tả tốc độ thay đổi của f(x) tại mọi điểm x trong miền xác định của nó.
2. Các quy tắc đạo hàm cơ bản
Việc tính đạo hàm trực tiếp từ định nghĩa có thể phức tạp. Do đó, chúng ta sử dụng các quy tắc đạo hàm để đơn giản hóa quá trình này:
- Quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa: d/dx (xn) = n*x(n-1)
- Quy tắc đạo hàm của hàm số hằng: d/dx (c) = 0 (với c là hằng số)
- Quy tắc đạo hàm của tổng/hiệu: d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)
- Quy tắc đạo hàm của tích: d/dx [f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
- Quy tắc đạo hàm của thương: d/dx [f(x) / g(x)] = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]2
- Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)
3. Đạo hàm của các hàm số thường gặp
| Hàm số f(x) | Đạo hàm f'(x) |
|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos2(x) |
| ex | ex |
| ln(x) | 1/x |
4. Ứng dụng của đạo hàm
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng quan trọng:
- Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm bằng 0 tại các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Giải quyết các bài toán tối ưu: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số trong một miền cho trước.
- Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
5. Bài tập áp dụng
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập. Dưới đây là một số ví dụ:
- Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1
- Tìm cực trị của hàm số f(x) = x3 - 3x + 2
- Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2t + 1. Tính quãng đường vật đi được sau 5 giây.
Chương IX. Đạo hàm là một bước quan trọng trong quá trình học Toán. Hãy dành thời gian ôn tập kỹ lưỡng và thực hành thường xuyên để nắm vững kiến thức này. Chúc bạn học tập hiệu quả!
