Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 23: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng - Lý Thuyết và Bài Tập

Bài 23 trong chương trình Toán 11 tập trung vào một khái niệm nền tảng của hình học không gian: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Việc nắm vững kiến thức này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, và nhiều bài toán hình học không gian khác.

1. Điều Kiện Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

• Định nghĩa: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) ký hiệu là d ⊥ (P).
• Hệ quả: Nếu d ⊥ (P) thì mọi đường thẳng nằm trong (P) và song song với d đều vuông góc với d.

2. Tính Chất Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Có một số tính chất quan trọng cần lưu ý khi làm việc với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

1. Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đó.
2. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với một đường thẳng d thì (P) và (Q) song song với nhau.

3. Ứng Dụng và Bài Tập Minh Họa

Để hiểu rõ hơn về khái niệm này, chúng ta hãy xem xét một số bài tập minh họa:

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 90 độ.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Giải: Vì SA vuông góc với SB và SB vuông góc với SC nên góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng góc ASB, tức là 90 độ.

4. Mở Rộng và Liên Hệ

Khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có liên hệ mật thiết với khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

5. Bài Tập Rèn Luyện

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
• Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCA).

Tusach.vn hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn đã nắm vững khái niệm về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Chúc bạn học tốt!