Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong các lĩnh vực như giải tích, lượng giác và vật lý. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về lũy thừa với số mũ thực, bao gồm định nghĩa, tính chất, các ví dụ minh họa và hướng dẫn giải bài tập.

1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực là biểu thức có dạng a^b, trong đó:

• a là cơ số (một số thực khác 0).
• b là số mũ (một số thực).

Khi b là số nguyên dương, lũy thừa a^b được hiểu là tích của b số a nhân với nhau: a^b = a × a × ... × a (b lần).

Khi b là số nguyên âm, lũy thừa a^b được định nghĩa là nghịch đảo của lũy thừa với số mũ dương: a^-b = 1 / a^b.

Khi b là số hữu tỉ m/n (với m, n là các số nguyên và n ≠ 0), lũy thừa a^m/n được định nghĩa là căn bậc n của lũy thừa bậc m của a: a^m/n = ⁿ√a^m.

Khi b là số thực vô tỉ, lũy thừa a^b được định nghĩa thông qua giới hạn.

2. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Một số tính chất quan trọng của lũy thừa với số mũ thực bao gồm:

1. a^x . a^y = a^x+y
2. a^x / a^y = a^x-y
3. (a^x)^y = a^xy
4. (a.b)^x = a^x . b^x
5. (a/b)^x = a^x / b^x

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính 2^3.5

2^3.5 = 2^7/2 = √(2⁷) = √128 = 8√2 ≈ 11.31

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức (3²)^1/2

(3²)^1/2 = 3^2.1/2 = 3¹ = 3

4. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

• a) 5^2.3
• b) (1/2)^-3
• c) 4^1/2

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

• a) x³ . x^-2
• b) (y²)^1/3
• c) (a²b)³

Bài 3: Giải phương trình: 2^x = 8

5. Ứng dụng của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Tài chính: Tính lãi kép, tăng trưởng kinh tế.
• Khoa học: Mô tả sự phân rã phóng xạ, sự tăng trưởng dân số.
• Kỹ thuật: Tính toán các đại lượng trong điện, cơ học.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lũy thừa với số mũ thực. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!