Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Trong lý thuyết xác suất, việc tính toán xác suất của các sự kiện phức tạp thường được thực hiện bằng cách phân tích thành các sự kiện đơn giản hơn. Một trong những công cụ quan trọng nhất để thực hiện điều này là công thức nhân xác suất. Bài viết này sẽ tập trung vào trường hợp đặc biệt: công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.
1. Biến cố độc lập là gì?
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Nói cách khác, P(B|A) = P(B) và P(A|B) = P(A). Ví dụ, việc tung đồng xu hai lần là hai biến cố độc lập, vì kết quả của lần tung đầu tiên không ảnh hưởng đến kết quả của lần tung thứ hai.
2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì xác suất của cả hai biến cố cùng xảy ra (A và B) được tính bằng:
P(A và B) = P(A) * P(B)
Công thức này rất đơn giản và dễ áp dụng, nhưng điều quan trọng là phải đảm bảo rằng hai biến cố thực sự độc lập trước khi sử dụng.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp, không trả lại. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.
Giải:
- Gọi A là biến cố quả bóng thứ nhất màu đỏ. P(A) = 5/8
- Gọi B là biến cố quả bóng thứ hai màu đỏ. Vì không trả lại quả bóng thứ nhất, P(B|A) = 4/7
- Do đó, P(A và B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14
Ví dụ 2: Tung một đồng xu và gieo một con xúc xắc. Tính xác suất để đồng xu ra mặt ngửa và con xúc xắc ra số 6.
Giải:
- Gọi A là biến cố đồng xu ra mặt ngửa. P(A) = 1/2
- Gọi B là biến cố con xúc xắc ra số 6. P(B) = 1/6
- Vì việc tung đồng xu và gieo xúc xắc là hai biến cố độc lập, nên P(A và B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/6) = 1/12
4. Bài tập áp dụng
Bài 1: Một người bắn súng có xác suất bắn trúng mục tiêu là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng cả 3 phát.
Bài 2: Một hộp chứa 10 bóng, trong đó có 4 bóng trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai bóng đều màu trắng.
5. Lưu ý quan trọng
Khi giải các bài toán xác suất, điều quan trọng là phải xác định xem các biến cố có độc lập hay không. Nếu các biến cố không độc lập, bạn cần sử dụng công thức nhân xác suất có điều kiện: P(A và B) = P(A) * P(B|A).
6. Kết luận
Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là một công cụ cơ bản và hữu ích trong việc tính toán xác suất. Việc nắm vững công thức này và hiểu rõ khái niệm biến cố độc lập sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách tự tin và hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và kỹ năng của mình.
