Bài 7. Cấp số nhân

Bài 7. Cấp số nhân - Lý thuyết và Bài tập

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội (q). Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng cho việc giải quyết nhiều bài toán trong toán học và các ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

Nếu u₁ = 0 thì u_n = 0 với mọi n.
Nếu u₁ ≠ 0 và q = 1 thì u_n = u₁ với mọi n.
Nếu u₁ ≠ 0 và q = -1 thì u_n có giá trị luân phiên giữa u₁ và -u₁.

3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁.q^n-1

Trong đó:

u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
q là công bội của cấp số nhân.
n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

4. Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (S_n) được tính theo công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1 thì S_n = n.u₁

5. Ví dụ minh họa

Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

Số hạng thứ 5: u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162
Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = u₁.(1 - q⁵) / (1 - q) = 2.(1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2.(1 - 243) / (-2) = 242

6. Bài tập luyện tập

Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 2. Tìm số hạng thứ 10.
Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và tổng của 3 số hạng đầu tiên là 7. Tìm công bội q.
Một hình vuông có cạnh bằng 1. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông để tạo thành một hình vuông mới. Tiếp tục quá trình này. Tính diện tích của hình vuông thứ 5.

7. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Tính lãi kép trong ngân hàng.
Tính sự tăng trưởng dân số.
Tính sự phân rã của các chất phóng xạ.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 7. Cấp số nhân. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!