Bài 33. Đạo hàm cấp hai

Chào mừng các bạn đến với bài học Bài 33. Đạo hàm cấp hai trong chương trình Toán 12. Bài học này sẽ đi sâu vào khái niệm đạo hàm cấp hai, cách tính đạo hàm cấp hai của các hàm số cơ bản và ứng dụng của đạo hàm cấp hai trong việc phân tích tính chất của hàm số.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai, ký hiệu là f''(x) hoặc y'', là đạo hàm của đạo hàm cấp nhất f'(x). Nói cách khác, đạo hàm cấp hai là tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số. Về mặt hình học, đạo hàm cấp hai cho biết độ cong của đồ thị hàm số tại một điểm.

2. Cách tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp nhất f'(x).
2. Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Ví dụ:

Cho hàm số f(x) = x³ + 2x² - x + 1.

• Đạo hàm cấp nhất: f'(x) = 3x² + 4x - 1
• Đạo hàm cấp hai: f''(x) = 6x + 4

3. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc phân tích hàm số, bao gồm:

• Xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số:
  • Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
  • Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
• Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Điểm uốn thỏa mãn f''(x) = 0 và f''(x) đổi dấu tại điểm đó.
• Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm cấp hai giúp ta xác định các khoảng mà hàm số lồi hoặc lõm, từ đó vẽ được đồ thị hàm số chính xác hơn.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = sin(2x).

Giải:

• f'(x) = 2cos(2x)
• f''(x) = -4sin(2x)

Bài 2: Xác định khoảng lồi, lõm của hàm số f(x) = x⁴ - 2x² + 1.

Giải:

• f'(x) = 4x³ - 4x
• f''(x) = 12x² - 4

Giải phương trình f''(x) = 0, ta được x = ±√(1/3). Xét dấu f''(x) trên các khoảng (-∞, -√(1/3)), (-√(1/3), √(1/3)), (√(1/3), +∞), ta thấy:

• f''(x) > 0 trên (-∞, -√(1/3)) và (√(1/3), +∞) => Hàm số lồi trên các khoảng này.
• f''(x) < 0 trên (-√(1/3), √(1/3)) => Hàm số lõm trên khoảng này.

5. Lời khuyên khi học bài

Để nắm vững kiến thức về đạo hàm cấp hai, bạn nên:

• Hiểu rõ khái niệm đạo hàm cấp hai và ý nghĩa của nó.
• Luyện tập tính đạo hàm cấp hai của nhiều hàm số khác nhau.
• Áp dụng đạo hàm cấp hai để giải các bài toán liên quan đến tính lồi, lõm, điểm uốn và sự biến thiên của hàm số.
• Tham khảo các tài liệu học tập, bài giảng video và bài tập trực tuyến tại tusach.vn để có thêm kiến thức và kỹ năng.

Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!