Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng

Bài 24: Phép Chiếu Vuông Góc với Mặt Phẳng - Giải Thích Chi Tiết

Trong hình học không gian, phép chiếu vuông góc đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mối quan hệ giữa các đối tượng hình học. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép chiếu vuông góc với mặt phẳng, bao gồm định nghĩa, tính chất, cách xác định và ứng dụng trong giải toán.

1. Định Nghĩa Phép Chiếu Vuông Góc

Phép chiếu vuông góc của một điểm A lên một mặt phẳng (P) là điểm H sao cho AH vuông góc với (P). Điểm H được gọi là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Ký hiệu: A →_(P) H.

Tương tự, phép chiếu vuông góc của một đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là tập hợp các hình chiếu vuông góc của các điểm trên d lên (P). Nếu d vuông góc với (P) thì d được gọi là đường thẳng vuông góc với (P).

Phép chiếu vuông góc của một mặt phẳng (Q) lên mặt phẳng (P) là mặt phẳng (Q') chứa tất cả các hình chiếu vuông góc của các điểm trên (Q) lên (P). Nếu (Q) và (P) song song thì (Q') = (Q).

2. Tính Chất của Phép Chiếu Vuông Góc

• Nếu A ∈ (P) thì hình chiếu vuông góc của A lên (P) chính là A.
• Nếu AB ⊥ (P) thì hình chiếu vuông góc của A lên (P) là B.
• Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

3. Cách Xác Định Hình Chiếu Vuông Góc

Để xác định hình chiếu vuông góc của một điểm A lên mặt phẳng (P), ta cần tìm đường thẳng AH vuông góc với (P). Thông thường, ta sử dụng các phương pháp sau:

1. Sử dụng định lý Pythagoras: Nếu biết tọa độ điểm A và phương trình mặt phẳng (P), ta có thể tìm tọa độ điểm H bằng cách giải hệ phương trình.
2. Sử dụng vector pháp tuyến: Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là hướng của đường thẳng vuông góc với (P).
3. Sử dụng các tính chất hình học: Trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng các tính chất hình học để xác định hình chiếu vuông góc.

4. Ứng Dụng của Phép Chiếu Vuông Góc trong Giải Toán

Phép chiếu vuông góc được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến:

• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.
• Chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian.
• Giải các bài toán về hình chiếu của các hình đa diện.

5. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên (P).

Giải: Đường thẳng AH vuông góc với (P) có phương trình tham số:

x = 1 + t

y = 2 + t

z = 3 + t

Thay vào phương trình (P), ta được: (1 + t) + (2 + t) + (3 + t) - 6 = 0 => 3t = 0 => t = 0.

Vậy H(1; 2; 3).

6. Bài Tập Luyện Tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho điểm B(0; -1; 2) và mặt phẳng (Q): 2x - y + 3z + 1 = 0. Tìm hình chiếu vuông góc của B lên (Q).
• Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t vuông góc với mặt phẳng (R): x - y + 2z - 5 = 0.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép chiếu vuông góc với mặt phẳng. Chúc bạn học tốt!