Bài 6. Cấp số cộng

Bài 6. Cấp số cộng - Giải thích chi tiết và bài tập

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (gọi là công sai) vào số hạng đứng trước. Đây là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1. Định nghĩa và các khái niệm liên quan

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d sao cho:

u_n+1 = u_n + d với mọi n ≥ 1

Trong đó:

u_n là số hạng thứ n của dãy
d là công sai của cấp số cộng

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng được tính theo công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

u₁ là số hạng đầu tiên của dãy
n là vị trí của số hạng cần tìm
d là công sai

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức:

S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n - 1)d]

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

Số hạng thứ 5: u₅ = u₁ + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14
Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = 5/2 * (u₁ + u₅) = 5/2 * (2 + 14) = 40

Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng 1, 5, 9, 13,...

Giải:

Công sai: d = 5 - 1 = 4
Số hạng thứ 10: u₁₀ = u₁ + (10 - 1)d = 1 + 9 * 4 = 37

5. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập về cấp số cộng thường gặp các dạng sau:

Xác định công sai và số hạng tổng quát
Tìm số hạng thứ n của cấp số cộng
Tính tổng của n số hạng đầu tiên
Ứng dụng cấp số cộng vào giải quyết các bài toán thực tế

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về cấp số cộng, bạn nên luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán trực tuyến như tusach.vn. Việc giải nhiều bài tập sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các công thức và kỹ năng giải quyết bài toán.

Bảng tổng hợp công thức:

Công thức	Mô tả
u_n+1 = u_n + d	Định nghĩa cấp số cộng
u_n = u₁ + (n - 1)d	Số hạng tổng quát
S_n = n/2 * (u₁ + u_n)	Tổng n số hạng đầu tiên (dạng 1)
S_n = n/2 * [2u₁ + (n - 1)d]	Tổng n số hạng đầu tiên (dạng 2)

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về cấp số cộng. Chúc bạn học tập tốt!