Đề bài
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số:
\(L\left( t \right) = 12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right)\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\)
a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?
c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Sử dụng kiến thức \( - 1 \le \sin x \le 1\) với mọi x
* Sử dụng cách giải phương trình \(\sin x = m\) (1)
+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì tồn tại duy nhất số \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\sin \alpha = m\).
Khi đó, phương trình (1) tương đương với:
\(\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Vì \( - 1 \le \sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1\) nên \( - 2,83 \le 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 2,83\)
Do đó, \(9,17 = 12 - 2,83 \le 12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 12 + 2,83 = 12,83\;\forall t \in \mathbb{R}\)
a) Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng nhất ứng với \(\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{{ - 45}}{4} + 365k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(0 < t \le 365\) nên \(k = 1,\) suy ra \(t = \frac{{ - 45}}{4} + 365 = 353,75.\) Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố A sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.
b) Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng nhất ứng với \(\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{{45}}{4} + 365k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(0 < t \le 365\) nên \(k = 0,\) suy ra \(t = 171,25.\) Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.
c) Thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu
\(12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 10 \Leftrightarrow 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = \frac{{ - 200}}{{283}}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) \approx - 0,78 + k2\pi \\\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) \approx 3,938 + k2\pi \end{array} \right.\)
Từ đó ta được \(\left[ \begin{array}{l}t \approx 34,69 + 365k\\t \approx 308,3 + 365k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(0 < t \le 365\) nên \(k = 0,\) suy ra \(t \approx 34,69\) hoặc \(t \approx 308,30.\) Như vậy, vào ngày thứ 34 của năm, tức là khoảng ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời.
