Giải bài 4.63 trang 74 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 4.63 trang 74 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết và đáp án

Bài 4.63 trang 74 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Điều kiện để hai đường thẳng song song, vuông góc

Dưới đây là lời giải chi tiết bài 4.63 trang 74 SBT Toán 11 Kết nối tri thức:

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD.

1. Chứng minh rằng AM vuông góc với mặt phẳng (SCD).
2. Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD).
3. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).

Lời giải:

a) Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SCD):

Ta có:

• ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD.
• SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD.
• Do đó, CD ⊥ (SA, AD).
• Vì CD ⊥ (SA, AD) và AM nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên CD ⊥ AM.
• Mặt khác, AM là đường trung tuyến của tam giác ADC vuông tại D nên AM = MC = MD = a/√2.
• Xét tam giác SAM, ta có SA ⊥ AM (do SA ⊥ (ABCD)).
• Vậy AM vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau CD và SA trong mặt phẳng (SCD), suy ra AM ⊥ (SCD).

b) Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD):

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD). Vì SA ⊥ (ABCD) nên H trùng với A.

Góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD) là góc SMA.

Ta có: tan(SMA) = SA/AM = a/(a/√2) = √2.

Suy ra SMA = arctan(√2) ≈ 54.74°.

c) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD):

Gọi d là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).

Ta có: V_BSAD = (1/3) * S_SAD * d.

Trong đó:

• V_BSAD là thể tích tứ diện BSAD.
• S_SAD là diện tích tam giác SAD.

Ta có: S_SAD = (1/2) * AD * SA = (1/2) * a * a = a²/2.

V_BSAD = (1/6) * V_S.ABCD = (1/6) * (1/3) * S_ABCD * SA = (1/18) * a² * a = a³/18.

Suy ra: d = (3 * V_BSAD) / S_SAD = (3 * a³/18) / (a²/2) = a/3.

Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD) là a/3.

Kết luận:

Bài 4.63 trang 74 SBT Toán 11 Kết nối tri thức đã được giải quyết hoàn toàn. Hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải bài tập liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Chúc các em học tập tốt!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần bình luận bên dưới. Tusach.vn luôn sẵn sàng hỗ trợ các em.