Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian - Tổng quan
Chương VII của chương trình Hình học không gian lớp 11 (hoặc tương đương) đi sâu vào nghiên cứu về các mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Đây là một phần kiến thức nền tảng, quan trọng để giải quyết các bài toán về không gian, đặc biệt là trong các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
- Điều kiện cần và đủ: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
- Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mọi hình chiếu của d trên (P) đều vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
2. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp 1: Chứng minh có một đường thẳng d vuông góc với cả hai mặt phẳng.
- Phương pháp 2: Sử dụng định lý: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi giao tuyến của chúng vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia.
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P). Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90°.
Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta thường sử dụng các công thức lượng giác và các định lý về tam giác vuông.
4. Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng các công thức lượng giác và các định lý về góc giữa hai vectơ.
5. Bài tập minh họa
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
Giải: Vì SA vuông góc với đáy (ABCD) nên góc giữa SA và (ABCD) bằng 90°.
Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B. Tính độ dài đoạn AB biết khoảng cách từ A đến (Q) là 3 và khoảng cách từ B đến (P) là 4.
Giải: Gọi C là hình chiếu của A lên (Q) và D là hình chiếu của B lên (P). Khi đó AC = 3 và BD = 4. Vì (P) và (Q) vuông góc với nhau nên tứ giác ACBD là hình chữ nhật. Do đó, AB = CD = √(AC² + BD²) = √(3² + 4²) = 5.
6. Lời khuyên khi học tập
Để học tốt chương này, bạn cần:
- Nắm vững các định nghĩa, định lý và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc.
- Luyện tập nhiều bài tập để hiểu rõ cách áp dụng các kiến thức vào giải quyết các bài toán cụ thể.
- Sử dụng hình vẽ để minh họa và trực quan hóa các khái niệm.
- Tham khảo các tài liệu tham khảo và các bài giảng trực tuyến để bổ sung kiến thức.
Tusach.vn hy vọng với tài liệu này, bạn sẽ nắm vững kiến thức về Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian và đạt kết quả tốt trong học tập!
