Câu 31 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(d=5\sin 6t - 4cos6t\) \( = \sqrt {41} \left( {{5 \over {\sqrt {41} }}\sin 6t - {4 \over {\sqrt {41} }}\cos 6t} \right) \) \(= \sqrt {41} \sin \left( {6t - \alpha } \right)\)

trong đó số \(α\) được chọn sao cho \(\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {41} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {4 \over {\sqrt {41} .}}\)

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được \(α ≈ 0,675\).

Vật ở vị trí cân bằng khi \(d = 0\), nghĩa là \(\sin(6t – α) = 0\)

\( \Leftrightarrow t = {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6}\) (với \(k \in\mathbb Z\))

Ta cần tìm \(k\) nguyên dương sao cho \(0 ≤ t ≤ 1\)

\(0 ≤ t ≤ 1\) \( ⇔ 0 \le {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6} \le 1 \) \(\Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi }\)

Với \(α ≈ 0,675\), ta thu được \(-0,215 < k < 1,7\), nghĩa là \(k\in \{0;1\}\).

Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là :

\(t \approx {\alpha \over 6} \approx 0,11\) (giây) và \(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over 6} \approx 0,64\) (giây)

Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?

(Tính chính xác đến \({1 \over {100}}\) giây).

Lời giải chi tiết:

Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi \(|d|\) nhận giá trị lớn nhất.

Điều đó xảy ra nếu \(\sin(6t – α) = ± 1\). Ta có :

\(\sin \left( {6t - \alpha } \right) = \pm 1 \)

\(\Leftrightarrow \cos \left( {6t - \alpha } \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow t= {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6}\) 

Ta tìm k nguyên dương sao cho \(0 ≤ t ≤ 1\)

\(\eqalign{& 0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6} \le 1 \cr & \Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } - {1 \over 2} \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi } - {1 \over 2} \cr} \)

Với \(α ≈ 0,675\), ta thu được \(-0,715 < k < 1,2\); nghĩa là \(k \in {\rm{\{ }}0;1\} \). Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là :

\(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} \approx 0,37\,\left( {s} \right)\) và \(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + {\pi \over 6} \approx 0,90\,\left( \text{s} \right)\)