Câu 8 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 .\)

a. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD).

b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD)

c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

d. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện.

e. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P). 

Lời giải chi tiết

Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD).

a. Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH.

SAC là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(SH = a\sqrt 2 .{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)

b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Ta có: d(AB ; (SCD)) = d(E; (SCD)) = EK

(EK là đường cao của tam giác SEF).

\(EK = {{EF.SH} \over {SF}} = {{a.{{a\sqrt 6 } \over 2}} \over {\sqrt {{{6{a^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{a\sqrt 6 } \over {\sqrt 7 }} = {{a\sqrt {42} } \over 7}\)

c. Vì AB và SC chéo nhau, AB // mp(SCD) nên d(AB ; SC) = d(AB ; (SCD)) = \({{a\sqrt {42} } \over 7}\)

d.

Gọi C₁ là trung điểm của SC, do SAC là tam giác đều nên AC₁ ⊥ SC. Mặt khác, BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặt phẳng chứa AC₁ và song song với BD. Kí hiệu H₁ là giao điểm của AC₁ và SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B₁D₁, trong đó B₁D₁ đi qua H₁ và song song với BD. Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB₁C₁D₁.

Ta có: BD ⊥ (SAC), B₁D₁ // BD

Nên B₁D₁ ⊥ (SAC), suy ra B₁D₁ ⊥ AC₁.

Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\)

\(A{C_1} = {{a\sqrt 6 } \over 2},{B_1}{D_1} = {2 \over 3}BD\) (vì H₁ là trọng tâm tam giác SAC)

Vì vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 2}.{2 \over 3}a\sqrt 2 = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)

e. Trong mp(SAC), kẻ HI song song với CC₁ cắt AC₁ tại I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P).

Ta lấy điểm J sao cho BHIJ là hình bình hành thì BJ ⊥ (P), từ đó \(\widehat {BAJ}\) là góc giữa BA và mp(P).

\(\sin \widehat {BAJ} = {{BJ} \over {BA}} = {{HI} \over {BA}} = {{{1 \over 2}C{C_1}} \over {BA}}\)

\(= {{{1 \over 4}SC} \over {BA}} = {{{1 \over 4}a\sqrt 2 } \over a} = {{\sqrt 2 } \over 4}\)

Vậy góc giữa BA và mp(P) là α mà \(\sin \alpha = {{\sqrt 2 } \over 4},0^\circ < \alpha < 90^\circ .\)