CHƯƠNG III: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

CHƯƠNG III: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Chương III trong chương trình Toán học lớp 10 (hoặc tương đương) là một phần quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức nâng cao hơn về dãy số, giới hạn và đạo hàm. Chương này tập trung vào ba khái niệm chính: dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.

1. Dãy Số

Định nghĩa: Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên (hoặc một tập con của nó) và có giá trị là các số thực. Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng của dãy.

Cách đặt tên dãy số: Dãy số thường được ký hiệu là (u_n), trong đó u_n là số hạng thứ n của dãy.

Các loại dãy số:

• Dãy số hữu hạn: Có số lượng số hạng xác định.
• Dãy số vô hạn: Có số lượng số hạng không xác định.
• Dãy số tăng: u_n+1 > u_n với mọi n.
• Dãy số giảm: u_n+1 < u_n với mọi n.
• Dãy số không đổi: u_n+1 = u_n với mọi n.

2. Cấp Số Cộng

Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi, gọi là công sai (d).

Công thức:

• u_n = u₁ + (n - 1)d
• S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n - 1)d]

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên.
• d là công sai.
• n là số lượng số hạng.
• S_n là tổng của n số hạng đầu tiên.

3. Cấp Số Nhân

Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi, gọi là công bội (q).

Công thức:

• u_n = u₁ * q^(n-1)
• S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên.
• q là công bội.
• n là số lượng số hạng.
• S_n là tổng của n số hạng đầu tiên.

Ứng Dụng Thực Tế

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tài chính: Tính lãi kép, trả góp.
• Vật lý: Mô tả các hiện tượng tăng trưởng hoặc suy giảm theo thời gian.
• Tin học: Thuật toán đệ quy, phân tích độ phức tạp của thuật toán.
• Thống kê: Phân tích dữ liệu chuỗi thời gian.

Bài Tập Ví Dụ

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Giải: u₁₀ = u₁ + (10 - 1)d = 2 + 9 * 3 = 29

Bài 2: Tính tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2.

Giải: S₅ = u₁ * (1 - q⁵) / (1 - q) = 1 * (1 - 2⁵) / (1 - 2) = 31

Việc nắm vững kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân là rất quan trọng để giải quyết các bài toán trong toán học và ứng dụng vào thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu sâu hơn về các khái niệm này.