Giải Câu 11 Trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tổng quan nội dung

Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Chứng minh rằng :

LG a

\(\cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \)

LG b

\(\cos {\pi \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1\,\text{ dấu căn}}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 2.

Lời giải chi tiết:

Với n = 2 ta có \(\cos {\pi \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :

\(\cos {\pi \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \) (k – 1 dấu căn)

Với n = k + 1 ta có

\(\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left( {1 + \cos {\pi \over {{2^k}}}} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right) \cr & = {1 \over 4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right) \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \,\,\left( {k\,\text{ dấu căn}} \right) \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(∀n ≥ 2\).

Giải Chi Tiết Câu 11 Trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, từ đó vẽ được đồ thị hàm số một cách chính xác.

Nội dung Bài Toán

Thông thường, câu 11 trang 225 sẽ đưa ra một hàm số cụ thể, ví dụ:

f(x) = x³ - 3x² + 2

Yêu cầu của bài toán có thể là:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Phương Pháp Giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định: Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa. Trong hầu hết các trường hợp, tập xác định là R (tập số thực).
Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản để tính đạo hàm f'(x). Ví dụ, đạo hàm của xⁿ là nx^n-1.
Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm. Các điểm nghiệm này là các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Xét dấu đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định. Nếu f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin đã tìm được (tập xác định, đạo hàm, điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến) để vẽ đồ thị hàm số.

Lời Giải Chi Tiết (Ví dụ với f(x) = x³ - 3x² + 2)

1. Tập xác định: D = R

2. Đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x

3. Điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

=> x = 0 hoặc x = 2

Vậy, hàm số có hai điểm cực trị: x₁ = 0 và x₂ = 2

4. Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Trên khoảng (-∞; 0), f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến.
Trên khoảng (0; 2), f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (2; +∞), f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến.

5. Vẽ đồ thị: (Không thể hiển thị đồ thị trực tiếp ở đây, bạn có thể sử dụng các công cụ vẽ đồ thị trực tuyến hoặc phần mềm toán học để vẽ đồ thị hàm số).

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý:

Kiểm tra kỹ các bước tính toán đạo hàm.
Xác định đúng dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác, chú ý đến các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến.

Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao hoặc các đề thi thử.

tusach.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và tự tin hơn trong các kỳ thi sắp tới.