Giải chi tiết Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các tính chất của đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để giải quyết. Dưới đây là lời giải chi tiết:
Đề bài:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.
- Chứng minh rằng BD vuông góc với AM.
- Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD).
- Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD).
Lời giải:
a) Chứng minh BD vuông góc với AM:
Ta có:
- BD ⊥ AC (tính chất hình vuông)
- BD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD))
Suy ra BD ⊥ (SAC). Mà AM ∈ (SAC) nên BD ⊥ AM. Vậy BD vuông góc với AM.
b) Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD):
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD). Do SA ⊥ (ABCD) nên H trùng với A.
Góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD) là góc SMA.
Ta có: AM = √(AD² + DM²) = √(a² + (a/2)²) = √(5a²/4) = (a√5)/2
SM = √(SA² + AM²) = √(a² + (5a²/4)) = √(9a²/4) = (3a)/2
sin SMA = SA/SM = a / (3a/2) = 2/3
Suy ra SMA = arcsin(2/3) ≈ 41.81°
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD):
Gọi d là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
Ta có: VCSAD = (1/3) * SSAD * d
VCSAD = (1/6) * VS.ABCD (do CSAD chiếm 1/6 thể tích hình chóp)
VS.ABCD = (1/3) * SABCD * SA = (1/3) * a² * a = a³/3
SSAD = (1/2) * AD * SA = (1/2) * a * a = a²/2
Vậy: (1/6) * (a³/3) = (1/3) * (a²/2) * d
Suy ra: d = (a³/18) / (a²/6) = a/3
Kết luận:
- BD ⊥ AM
- Góc giữa SM và (ABCD) là arcsin(2/3) ≈ 41.81°
- Khoảng cách từ C đến (SAD) là a/3
Mở rộng và lưu ý
Để giải tốt các bài tập về hình học không gian, các em cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
- Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ngoài ra, việc vẽ hình chính xác và sử dụng các định lý, tính chất hình học một cách linh hoạt cũng rất quan trọng.
Tusach.vn - Đồng hành cùng học sinh
Tusach.vn luôn cập nhật lời giải chi tiết và chính xác cho tất cả các bài tập trong SGK Hình học 11 Nâng cao. Hãy truy cập tusach.vn để học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất!
