Logo

Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tổng quan nội dung

Giải Bài Tập Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao - Câu 14 Trang 106

Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng dãy số \(\displaystyle (u_n)\) với \(\displaystyle {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.

Phương pháp giải - Xem chi tiếtCâu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 1

- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\), chứng minh \(H<0\).

- Đánh giá \(u_{n}\) bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực \(m,M\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr } \)

\(\begin{array}{l}u_{n+1}-u_n\\= \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\ = \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{2}{3} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {3n + 2} \right) - 5\left( {3n + 5} \right)}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 15}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = - \frac{5}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)

\(\displaystyle ⇒ (u_n)\) là dãy số giảm

Ta lại có:

+) \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}\)

+) \(2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}\) vì \(2n + 3 - 3n - 2 = - n + 1 \le 0,\)\(\forall n \in {N^*}\)

Do đó \(\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)

Vậy \(\displaystyle (u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.

Cách khác:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{2n + 5}}{{3n + 5}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{\left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right) - \left( {2n + 3} \right)\left( {3n + 5} \right)}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{6{n^2} + 19n + 10 - 6{n^2} - 19n - 15}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 5}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)

Do đó \( (u_n)\) là dãy số giảm.

Giải Chi Tiết Câu 14 Trang 106 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường liên quan đến việc xét tính đơn điệu của hàm số, tìm cực trị, hoặc giải phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

  • Đạo hàm: Định nghĩa, các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (đa thức, lượng giác, mũ, logarit).
  • Tính đơn điệu của hàm số: Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu. Hàm số đồng biến khi đạo hàm dương, nghịch biến khi đạo hàm âm.
  • Cực trị của hàm số: Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại, cực tiểu.

Phân Tích Đề Bài và Lập Kế Hoạch Giải

Trước khi bắt tay vào giải, hãy đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài toán. Ví dụ, đề bài có thể yêu cầu:

  • Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
  • Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số.
  • Giải phương trình f'(x) = 0.
  • Chứng minh một bất đẳng thức.

Sau khi hiểu rõ yêu cầu, hãy lập kế hoạch giải bài toán. Kế hoạch này có thể bao gồm các bước sau:

  1. Tính đạo hàm f'(x).
  2. Tìm tập xác định của hàm số.
  3. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
  4. Xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định để xác định khoảng đơn điệu.
  5. Kết luận về cực đại, cực tiểu của hàm số.

Ví Dụ Minh Họa

Giả sử đề bài yêu cầu tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = x3 - 3x2 + 2.

Giải:

  1. Tính đạo hàm: y' = 3x2 - 6x.
  2. Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
  3. Xét dấu y' trên các khoảng (-∞; 0), (0; 2), (2; +∞):
    • Trên (-∞; 0): y' > 0 => Hàm số đồng biến.
    • Trên (0; 2): y' < 0 => Hàm số nghịch biến.
    • Trên (2; +∞): y' > 0 => Hàm số đồng biến.
  4. Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài tập về đạo hàm, cần chú ý các điểm sau:

  • Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
  • Tính đạo hàm chính xác.
  • Xét dấu đạo hàm cẩn thận để xác định khoảng đơn điệu.
  • Sử dụng các kiến thức về cực trị để giải quyết các bài toán liên quan.

Tusach.vn - Nguồn Tài Liệu Học Tập Tin Cậy

tusach.vn là một website cung cấp tài liệu học tập trực tuyến uy tín, với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm. Chúng tôi luôn cập nhật lời giải chi tiết, chính xác cho các bài tập trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, giúp học sinh học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất. Hãy truy cập tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu hữu ích khác!

Chủ đềLiên kết
Giải bài tập Đại số 11 Nâng caohttps://tusach.vn/giai-bai-tap-dai-so-11-nang-cao
Lý thuyết Đại số 11 Nâng caohttps://tusach.vn/ly-thuyet-dai-so-11-nang-cao