Logo

Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Tổng quan nội dung

Giải Câu 5 Trang 120 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Bài tập Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học Hình học không gian. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.

Đề bài

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.

Lời giải chi tiết

Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là hình chiếu của O trên mp(ABC) nên H là trực tâm tam giác ABC. Từ đó HC1 ⊥ AB (C1 là giao điểm của CH và AB), suy ra OC1 ⊥ AB. Như vậy \(\widehat {O{C_1}H}\) là góc giữa mp(OAB) và mp(ABC).

Ta có: \({S_{HAB}} = {S_{OAB}}\cos \widehat {O{C_1}H}\)

Mà \(\widehat {O{C_1}H} = \widehat {HOC}\) nên \({S_{HAB}} = {S_{OAB}}\cos \widehat {HOC}.\)

Ta lại có : \(\cos \widehat {HOC} = {{OH} \over {OC}},{1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} + {1 \over {O{C^2}}}\)

Từ đó : \(\cos \widehat {HOC} = {{ab} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)

Mặt khác \({S_{OAB}} = {1 \over 2}ab\)

Vậy \({S_{HAB}} = {{{a^2}{b^2}} \over {2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)

Tương tự như trên, ta có :

\(\eqalign{ & {S_{HBC}} = {{{b^2}{c^2}} \over {2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }} \cr & {S_{HAC}} = {{{c^2}{a^2}} \over {2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }} \cr} \)

Giải Chi Tiết Câu 5 Trang 120 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao thường liên quan đến việc xác định mối quan hệ giữa các vectơ, kiểm tra tính đồng phẳng của ba vectơ, hoặc tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

  • Vectơ: Định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số), tích vô hướng, tích có hướng.
  • Đường thẳng: Phương trình đường thẳng, vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng.
  • Mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng, vectơ pháp tuyến, điểm thuộc mặt phẳng.
  • Mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng song song, vuông góc, cắt mặt phẳng.

Phân Tích Bài Toán và Lập Kế Hoạch Giải

Trước khi bắt tay vào giải bài toán, hãy đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Sau đó, lập kế hoạch giải bài toán bằng cách:

  1. Xác định các vectơ liên quan đến bài toán.
  2. Sử dụng các công thức và định lý để tính toán các đại lượng cần thiết.
  3. Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Lời Giải Chi Tiết

(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao. Ví dụ minh họa, cần thay thế bằng lời giải thực tế)

Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta có thể sử dụng phương pháp sau:

  • Tìm vectơ AB và AC.
  • Kiểm tra xem hai vectơ AB và AC có cùng phương hay không. Nếu có, thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Ví Dụ Minh Họa

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BM.

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O là trung điểm của AB, trục Ox trùng với AB, trục Oy trùng với AD và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khi đó, ta có:

  • A(0, 0, 0)
  • B(a, 0, 0)
  • C(a, a, 0)
  • D(0, a, 0)
  • M(a/2, a, 0)

Ta có vectơ AM = (a/2, a, 0) và vectơ BM = (a/2, a, 0). Tích vô hướng của hai vectơ này là:

AM.BM = (a/2)(a/2) + (a)(a) + (0)(0) = a2/4 + a2 = 5a2/4 ≠ 0

Vậy AM không vuông góc với BM. (Đây chỉ là ví dụ, cần điều chỉnh cho phù hợp với câu 5 trang 120)

Lưu Ý Khi Giải Bài Tập

Khi giải các bài tập về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng, cần chú ý các điểm sau:

  • Sử dụng đúng các công thức và định lý.
  • Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
  • Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán.

Tổng Kết

Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và áp dụng các phương pháp giải bài tập phù hợp, học sinh có thể giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

Chúc các em học tốt!