Giải Câu 22 Trang 55 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

Giải Câu 22 Trang 55 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao. Bài tập này thuộc chương trình học Hình học lớp 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải toán về vectơ và ứng dụng trong hình học.

Tusach.vn sẽ cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải dễ hiểu và các lưu ý quan trọng để giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’

Đề bài

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD

a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy

b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’

Phương pháp giải - Xem chi tiết Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

- G là trọng tâm tứ diện thì G là trung điểm của đoạn nối trung điểm hai cạnh đối của tứ diện.

- Định lí Menelaus: Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :

\({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)

Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao 2

Lời giải chi tiết

a. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.

G là trọng tâm tứ diện nên G là trung điểm của MN hay GM=GN.

Trong mp(ABN) gọi A’ là giao điểm của AG với trung tuyến BN của ΔBCD.

Ta chứng minh A' là trọng tâm tam giác BCD hay A’B = 2A’N.

Áp dụng định lí Menelaus trong ΔBMN với cát tuyến AGA’ ta có :

\({{AM} \over {AB}}.{{GN} \over {GM}}.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \)\(\Rightarrow {1 \over 2}.1.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \Rightarrow A'B = 2A'N\)

Vậy A’ là trọng tâm của ΔBCD

Tương tự BG ,CG, DG lần lượt đi qua trọng tâm B’, C’, D’ của tam giác ACD, ABD, ABC.

b. Chứng minh GA = 3GA’

Áp dụng định lí Menelaus trong ΔABA’ với cát tuyến MGN ta có :

\({{MA} \over {MB}}.{{GA'} \over {GA}}.{{NB} \over {NA'}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.{{GA'} \over {GA}}.3 = 1 \)

\(\Rightarrow GA = 3GA'\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Giải Chi Tiết Câu 22 Trang 55 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực và tích vô hướng để giải quyết bài toán liên quan đến hình học phẳng.

Nội Dung Bài Toán

Thông thường, dạng bài tập này sẽ cho một hình vẽ (thường là tam giác, hình bình hành, hoặc các hình đa giác khác) và yêu cầu chứng minh một đẳng thức vectơ, tính độ dài đoạn thẳng, hoặc xác định vị trí tương đối của các điểm.

Phương Pháp Giải

Phân tích bài toán: Đọc kỹ đề bài, xác định các yếu tố đã cho và yêu cầu cần tìm. Vẽ hình minh họa nếu cần thiết.
Chọn hệ tọa độ: Nếu bài toán liên quan đến tính toán, việc chọn hệ tọa độ thích hợp sẽ giúp đơn giản hóa quá trình giải.
Biểu diễn vectơ: Biểu diễn các vectơ liên quan đến bài toán theo các vectơ cơ sở của hệ tọa độ đã chọn.
Vận dụng các phép toán vectơ: Sử dụng các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực, tích vô hướng) để biến đổi các biểu thức vectơ và chứng minh các đẳng thức.
Kiểm tra kết quả: Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Ví Dụ Minh Họa (Giả định nội dung câu 22)

Giả sử câu 22 yêu cầu: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2

Lời giải:

Vì M là trung điểm của BC, ta có: overrightarrow{BM} =overrightarrow{MC}
Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có: overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BM}
Thay overrightarrow{BM} =overrightarrow{MC} vào, ta được: overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{MC}
Vì overrightarrow{AC} =overrightarrow{AM} +overrightarrow{MC}, suy ra overrightarrow{MC} =overrightarrow{AC} -overrightarrow{AM}
Thay vào biểu thức trên, ta có: overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC} -overrightarrow{AM}
Chuyển vế, ta được: 2overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC}
Vậy: overrightarrow{AM} = (overrightarrow{AB} +overrightarrow{AC})/2 (đpcm)

Lưu Ý Quan Trọng

Nắm vững các định nghĩa và tính chất của vectơ.
Thành thạo các phép toán vectơ.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán.

Tusach.vn - Nguồn Tài Liệu Học Tập Uy Tín

Tusach.vn là website cung cấp lời giải chi tiết, đáp án và tài liệu học tập cho các môn học từ lớp 6 đến lớp 12. Chúng tôi luôn cập nhật nội dung mới nhất và đảm bảo tính chính xác của thông tin. Hãy truy cập tusach.vn để học tốt hơn!

Các Bài Tập Liên Quan

Giải Câu 23 Trang 55 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
Giải Câu 24 Trang 55 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
Các bài tập về vectơ trong hình học 11 nâng cao

Chúc các em học tập tốt!

Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao