Giải Câu 15 Trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Cho dãy số (un) xác định bởi

LG a

Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr & {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr & {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr & {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr & {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh : \(u_n= 5n – 2\) (1) với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \(u_1= 3 = 5.1 – 2\)

Vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k, k\in \mathbb N^*\), tức là:

\(u_k=5k-2\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 \)

\(= 5k - 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) - 2\)

Do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = {u_{n - 1}} + 5\\{u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 5\\...\\{u_3} = {u_2} + 5\\{u_2} = {u_1} + 5\\ \Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\ = \left( {{u_{n - 1}} + 5} \right) + \left( {{u_{n - 2}} + 5} \right) + ...\\ + \left( {{u_2} + 5} \right) + \left( {{u_1} + 5} \right)\\ \Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\ = {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} + ... + {u_2} + {u_1}\\ + \left( {5 + 5 + ... + 5 + 5} \right)(\text{ n-1 số 5})\\ \Rightarrow {u_n} = {u_1} + 5.\left( {n - 1} \right)\\ \Rightarrow {u_n} = 3 + 5n - 5 = 5n - 2\end{array}\)

Giải Chi Tiết Câu 15 Trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa hàm số đơn điệu: Hàm số f(x) được gọi là đơn điệu tăng trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2). Hàm số f(x) được gọi là đơn điệu giảm trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) ≥ f(x2).
Đạo hàm và tính đơn điệu: Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b). Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).
Cách tìm đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (đa thức, phân thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit).

Ví dụ minh họa (giả định nội dung câu 15):

Đề bài: Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
Tìm nghiệm của f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu f'(x):
x -∞ 0 2 +∞
f'(x) + - +
f(x) Đồng biến Nghịch biến Đồng biến
Kết luận: Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

x	-∞	0	2	+∞
f'(x)	+	-	+
f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

Mẹo giải nhanh:

Khi gặp bài toán xét tính đơn điệu, hãy luôn bắt đầu bằng việc tính đạo hàm. Sau đó, tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Cuối cùng, xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định để kết luận về tính đơn điệu của hàm số.

Lưu ý quan trọng:

Đảm bảo rằng bạn hiểu rõ định nghĩa của hàm số đơn điệu và mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu. Luyện tập thường xuyên với nhiều bài tập khác nhau để nắm vững kỹ năng giải quyết bài toán.

tusach.vn luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy truy cập website của chúng tôi để xem thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác.

Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi. Chúng tôi luôn sẵn lòng hỗ trợ bạn!