Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Tổng quan nội dung
Giải Bài Tập Hình Học 11 Nâng Cao - Câu 3 Trang 91
Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại tusach.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và chính xác nhất cho Câu 3 trang 91, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.
Lời giải chi tiết
Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \)
Thì \(\overrightarrow {AG} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right),\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow {GI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AG} = {{3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \over 6}\)
Mặt khác : \(\overrightarrow {AG'} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right) = \overrightarrow a + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {CG'} = \overrightarrow {AG'} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow c \)
\(= {{3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \over 3}\)
Vậy \(\overrightarrow {CG'} = 2\overrightarrow {GI} .\) Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.
Giải Chi Tiết Câu 3 Trang 91 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
Câu 3 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xác định mối quan hệ giữa các vectơ, kiểm tra tính đồng phẳng của ba vectơ, hoặc tìm điều kiện để bốn điểm cùng nằm trên một mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
- Vectơ: Định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số), tích vô hướng, tích có hướng.
- Đường thẳng trong không gian: Phương trình tham số, phương trình chính tắc, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
- Mặt phẳng trong không gian: Phương trình mặt phẳng, vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
- Kiểm tra tính đồng phẳng của ba vectơ: Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực x, y, z không đồng thời bằng không sao cho xa + yb + zc = 0.
Ví dụ minh họa (giả định nội dung câu 3):
Đề bài: Cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 3; 4), C(3; 4; 5), D(4; 5; 6). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Lời giải:
- Tính các vectơ:
- AB = (1; 1; 1)
- AC = (2; 2; 2)
- AD = (3; 3; 3)
- Kiểm tra tính đồng phẳng: Ta thấy AC = 2AB và AD = 3AB. Do đó, ba vectơ AB, AC, AD cùng phương, suy ra chúng đồng phẳng.
- Kết luận: Vì ba vectơ AB, AC, AD đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Mẹo giải nhanh và hiệu quả:
- Luôn vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.
- Sử dụng các công thức và định lý một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Nếu bạn gặp khó khăn trong quá trình giải bài tập, đừng ngần ngại tham khảo các tài liệu tham khảo, sách giáo khoa hoặc tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên và bạn bè. tusach.vn luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn trong quá trình học tập.
Các bài tập tương tự:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Hình học 11 Nâng cao và các đề thi thử. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi làm bài kiểm tra.
Chúc bạn học tốt môn Hình học!