Giải Câu 2 Trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các khái niệm khác đã được học để giải quyết một vấn đề cụ thể.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.

Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = {{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 3}\)

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 1\) ta có \({2^2} = {{2.2.3} \over 3}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :

\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :

\(\eqalign{& {2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = \frac{{2\left( {k + 1} \right).k\left( {2k + 1} \right)}}{3} + 4{\left( {k + 1} \right)^2} \cr&= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k} \right) + 12{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{3}\cr&= {{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2}+k+ 6k + 6} \right)} \over 3} \cr & = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{3} \cr&= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 4k + 3k + 6} \right)}}{3}\cr& = {{2\left( {k + 1} \right)\left[ {2k\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 2} \right)} \right]} \over 3} \cr & = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)

Giải Chi Tiết Câu 2 Trang 100 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc vào các chủ đề về đạo hàm, giới hạn, hoặc các ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan.

Phân Tích Đề Bài và Xác Định Yêu Cầu

Trước khi bắt đầu giải, hãy đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Điều này giúp bạn tránh sai sót và tập trung vào những phần quan trọng nhất. Ví dụ, đề bài có thể yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, tìm cực trị, hoặc khảo sát sự biến thiên của hàm số.

Các Bước Giải Quyết Bài Toán

Bước 1: Xác định hàm số và các điều kiện cho trước.
Bước 2: Áp dụng các công thức và định lý liên quan để biến đổi và tính toán.
Bước 3: Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng nó phù hợp với điều kiện của bài toán.
Bước 4: Viết kết luận một cách rõ ràng và chính xác.

Ví Dụ Minh Họa (Giả định một dạng bài tập phổ biến)

Đề bài: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Giải:

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất y' = 3x² - 6x.
Bước 2: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm dừng: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Bước 3: Tính đạo hàm bậc hai y'' = 6x - 6.
Bước 4: Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm dừng:
- Tại x = 0: y'' = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là y(0) = 2.
- Tại x = 2: y'' = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
Bước 5: Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0, 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2, -2).

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài tập về đạo hàm và giới hạn, cần chú ý đến các quy tắc tính đạo hàm, các giới hạn đặc biệt, và các điều kiện để hàm số có cực trị. Ngoài ra, việc vẽ đồ thị hàm số cũng có thể giúp bạn hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số và kiểm tra lại kết quả.

Tusach.vn – Nguồn Tài Liệu Học Tập Tin Cậy

tusach.vn là một trang web cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập, bài giải, và đáp án cho các môn học khác nhau, bao gồm Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúng tôi luôn cập nhật những thông tin mới nhất và đảm bảo tính chính xác của các bài giải. Hãy truy cập tusach.vn để tìm hiểu thêm và nâng cao kiến thức của bạn!

Bảng Tổng Hợp Các Công Thức Đạo Hàm Thường Gặp

Hàm số y	Đạo hàm y'
y = c (hằng số)	y' = 0
y = xⁿ	y' = nx^n-1
y = sin x	y' = cos x
y = cos x	y' = -sin x

Hy vọng với những giải thích chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn đã hiểu rõ hơn về cách giải Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!