Logo

Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tổng quan nội dung

Giải Câu 47 Trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chào mừng bạn đến với lời giải chi tiết Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao trên tusach.vn.

Bài tập này thuộc chương trình học Đại số và Giải tích lớp 11 Nâng cao, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến...

a. Cho hàm số

LG aLG b

LG a

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\tan x} \right)' = 1 + {\tan ^2}x\)

Lời giải chi tiết:

f’(x) = 1 + tan2x

f’’(x) = 2tanx(1 + tan2x) = 2tanx + 2tan3x

f(3)(x) = 2(1 + tan2x) + 2.3tan2x(1 + tan2x)

= 2+ 2tan2x + 6tan2x+ 6tan4x

= 2+ 8tan2x+ 6tan4x

LG b

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

Lời giải chi tiết:

\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\) (1)

Với n = 1 ta có: 

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2\sin x\cos x= \sin 2x\\f"\left( x \right) = 2\cos 2x\\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - 4\sin 2x\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\cos 2x = - {2^{4.1 - 1}}\cos 2x\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)

Với n = k + 1 ta có : 

\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x \\= - {2^{4\left( {k + 1} \right) - 1}}\cos 2x\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.

Giải Chi Tiết Câu 47 Trang 219 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của chúng. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phân tích hàm số, tìm cực trị, khoảng đơn điệu và vẽ đồ thị hàm số.

Nội Dung Bài Toán

Để hiểu rõ hơn về câu 47 trang 219, chúng ta cần xem xét nội dung cụ thể của bài toán. Thông thường, bài toán sẽ cho một hàm số y = f(x) và yêu cầu:

  • Xác định tập xác định của hàm số.
  • Tính đạo hàm f'(x).
  • Tìm các điểm cực trị của hàm số.
  • Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
  • Vẽ đồ thị hàm số.

Phương Pháp Giải

Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:

  1. Bước 1: Xác định tập xác định. Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa.
  2. Bước 2: Tính đạo hàm. Sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản để tính đạo hàm f'(x).
  3. Bước 3: Tìm điểm cực trị. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm. Sau đó, kiểm tra dấu của f'(x) xung quanh các điểm nghiệm để xác định xem đó là điểm cực đại hay cực tiểu.
  4. Bước 4: Xác định khoảng đơn điệu. Dựa vào dấu của f'(x), xác định khoảng đồng biến (f'(x) > 0) và khoảng nghịch biến (f'(x) < 0) của hàm số.
  5. Bước 5: Vẽ đồ thị. Sử dụng các thông tin đã tìm được (tập xác định, điểm cực trị, khoảng đơn điệu) để vẽ đồ thị hàm số.

Ví Dụ Minh Họa

Giả sử hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải quyết bài toán:

  1. Tập xác định: R
  2. Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x
  3. Điểm cực trị: Giải phương trình 3x2 - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
  4. Khoảng đơn điệu:
    • Khoảng đồng biến: (-∞, 0) và (2, +∞)
    • Khoảng nghịch biến: (0, 2)
  5. Đồ thị: (Có thể mô tả đồ thị hoặc chèn hình ảnh đồ thị)

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài toán về hàm số, đạo hàm, cần lưu ý:

  • Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
  • Sử dụng đúng các quy tắc đạo hàm.
  • Phân tích kỹ dấu của đạo hàm để xác định khoảng đơn điệu và cực trị.
  • Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.

Tusach.vn - Nguồn Tài Liệu Học Tập Tin Cậy

Tusach.vn là một trang web cung cấp tài liệu học tập trực tuyến, bao gồm giải bài tập, đáp án, kiến thức trọng tâm và các tài liệu hỗ trợ học tập khác. Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những thông tin chính xác, đầy đủ và dễ hiểu nhất để giúp các bạn học sinh học tập tốt hơn. Hãy truy cập tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu hữu ích khác!

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.