Câu 5 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao
Tổng quan nội dung
Giải Câu 5 Trang 50 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Câu 5 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao. Bài tập này thuộc chương trình học Hình học lớp 11 nâng cao, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp đáp án chính xác và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mp (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng
Đề bài
Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mp (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AB, AC, BC với mp(P). A, B, C không thẳng hàng nên có mp(ABC).
Ta có:
\(\begin{array}{l}I = AB \cap \left( P \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in AB \subset \left( {ABC} \right)\\I \in \left( P \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\J = AC \cap \left( P \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in AC \subset \left( {ABC} \right)\\J \in \left( P \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow J \in \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2)\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = IJ\)
Lại có,
\(\begin{array}{l}K = BC \cap \left( P \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in BC \subset \left( {ABC} \right)\\K \in \left( P \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow K \in \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = IJ\end{array}\)
Vậy I, J, K thẳng hàng.
Giải Chi Tiết Câu 5 Trang 50 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
Câu 5 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các tính chất của đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để giải quyết. Dưới đây là đề bài và lời giải chi tiết:
Đề Bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.
- Chứng minh rằng AM vuông góc với mặt phẳng (SCD).
- Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD).
- Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).
Lời Giải Chi Tiết
Phần 1: Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Để chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SCD), ta cần chứng minh AM vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SCD). Ta có:
- AM vuông góc với CD (vì M là trung điểm CD và ABCD là hình vuông).
- AM vuông góc với SC (chứng minh bằng cách sử dụng định lý Pitago và tính chất vuông góc).
Do đó, AM vuông góc với mặt phẳng (SCD) (đpcm).
Phần 2: Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Vì SA vuông góc với (ABCD) nên H trùng với A. Do đó, góc giữa SM và mặt phẳng (ABCD) chính là góc SMA.
Ta có: tan(SMA) = SA/AM = a / (a√2) = 1/√2. Suy ra góc SMA = arctan(1/√2) ≈ 35.26°.
Phần 3: Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD)
Gọi d là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD). Ta có:
V(B.SAD) = 1/3 * diện tích(SAD) * d
V(B.SAD) = 1/6 * V(S.ABCD) (vì B là trung điểm của cạnh AD)
Từ đó suy ra d = (3 * V(B.SAD)) / diện tích(SAD)
Tính V(S.ABCD) = 1/3 * diện tích(ABCD) * SA = 1/3 * a² * a = a³/3
Tính diện tích(SAD) = 1/2 * AD * SA = 1/2 * a * a = a²/2
Thay vào công thức tính d, ta được d = (3 * (a³/6)) / (a²/2) = a/√2 = a√2/2.
Lưu Ý Quan Trọng
Khi giải các bài toán về hình học không gian, cần chú ý:
- Vẽ hình chính xác và rõ ràng.
- Sử dụng các định lý và tính chất hình học một cách linh hoạt.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Tổng Kết
Hy vọng lời giải chi tiết Câu 5 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài tập và nắm vững kiến thức. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng giải toán của mình. Mọi thắc mắc, hãy để lại bình luận bên dưới, tusach.vn sẽ hỗ trợ các em!
Chúc các em học tốt!