Giải Câu 5 Trang 91 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Giải Câu 5 Trang 91 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Bài tập Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học Hình học không gian. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập này.

Trong không gian cho tam giác ABC.

LG a

Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} \) với mọi điểm O.

Giải chi tiết:

Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ khi có \(\overrightarrow {AM} = l\overrightarrow {AB} + m\overrightarrow {AC} \)

hay \(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = l\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) + m\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} } \right)\) với mọi điểm O

tức là \(\overrightarrow {OM} = \left( {1 - l - m} \right)\overrightarrow {OA} + l\overrightarrow {OB} + m\overrightarrow {OC} \)

đặt \(1 - l - m = x,l = y,m = z\) thì \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1.\)

LG b

Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {xOA} + \overrightarrow {yOB} + \overrightarrow {zOC} ,\) trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).

Giải chi tiết:

Giả sử \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1,\) ta có :

\(\eqalign{ & \overrightarrow {OM} = \left( {1 - y - z} \right)\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} \cr & hay\,\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OA} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr & \text{ tức là }\overrightarrow {AM} = y\overrightarrow {AB} + z\overrightarrow {AC} \cr} \)

Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC)

Giải Chi Tiết Câu 5 Trang 91 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh các bài toán liên quan đến việc xác định mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc giữa hai mặt phẳng trong không gian. Để giải quyết những bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

Vectơ: Các phép toán vectơ, tích vô hướng, tích có hướng.
Đường thẳng trong không gian: Phương trình đường thẳng, vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng.
Mặt phẳng trong không gian: Phương trình mặt phẳng, vectơ pháp tuyến, điểm thuộc mặt phẳng.
Mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng song song, vuông góc, cắt mặt phẳng.
Mối quan hệ giữa hai mặt phẳng: Hai mặt phẳng song song, vuông góc, cắt nhau.

Phương Pháp Giải Bài Tập

Để giải Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các bước sau:

Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán.
Vẽ hình: Vẽ hình minh họa giúp bạn hình dung rõ hơn về bài toán và các yếu tố liên quan.
Chọn hệ tọa độ: Chọn hệ tọa độ thích hợp để biểu diễn các điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Tìm vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến: Xác định các vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Sử dụng các công thức: Áp dụng các công thức liên quan đến tích vô hướng, tích có hướng, khoảng cách, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo kết quả của bạn phù hợp với điều kiện của bài toán.

Ví dụ Minh Họa (Giả định một dạng bài tập phổ biến)

Đề bài: Cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 1 = 0. Hãy tìm hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P).

Giải:

Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Khi đó, AA' vuông góc với (P).
Phương trình đường thẳng AA' có dạng: x = 1 + 2t y = 2 - t z = 3 + t
Điểm A' thuộc (P) nên thay tọa độ A' vào phương trình (P) ta được: 2(1 + 2t) - (2 - t) + (3 + t) - 1 = 0 4t + 2 - 2 + t + 3 + t - 1 = 0 6t + 2 = 0 t = -1/3
Thay t = -1/3 vào phương trình đường thẳng AA' ta được tọa độ điểm A': x = 1 + 2(-1/3) = 1/3 y = 2 - (-1/3) = 7/3 z = 3 + (-1/3) = 8/3
Vậy, hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) là A'(1/3; 7/3; 8/3).

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài toán về Hình học không gian, đặc biệt là các bài toán liên quan đến vectơ, bạn cần chú ý đến dấu của các vectơ và các phép toán vectơ. Việc vẽ hình chính xác và lựa chọn hệ tọa độ phù hợp cũng rất quan trọng để giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

Tổng Kết

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập điển hình để rèn luyện kỹ năng giải toán Hình học không gian. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản, áp dụng phương pháp giải đúng đắn và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể giải quyết bài tập này một cách tự tin và hiệu quả. tusach.vn hy vọng những giải thích và ví dụ trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Hình học.

Bảng tóm tắt các công thức quan trọng
Công thức	Mô tả
Tích vô hướng	a.b = \|a\|\|b\|cos(θ)
Tích có hướng	[a, b] là vectơ vuông góc với cả a và b
Phương trình mặt phẳng	Ax + By + Cz + D = 0

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao