Câu 19 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Chi Tiết Câu 19 Trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 19 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

1. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Tìm cực trị của hàm số.
3. Vẽ đồ thị hàm số.

Lời Giải Chi Tiết

1. Xác Định Khoảng Đồng Biến, Nghịch Biến

Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, ta cần tìm đạo hàm của hàm số:

f'(x) = 3x² - 6x

Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị:

3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Xét dấu f'(x) trên các khoảng:

• Khoảng (-∞; 0): f'(x) > 0 ⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 0).
• Khoảng (0; 2): f'(x) < 0 ⇒ Hàm số nghịch biến trên (0; 2).
• Khoảng (2; +∞): f'(x) > 0 ⇒ Hàm số đồng biến trên (2; +∞).

2. Tìm Cực Trị của Hàm Số

Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là:

f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2

Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là:

f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

Vậy, hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 2) và cực tiểu tại điểm (2; -2).

3. Vẽ Đồ Thị Hàm Số

Để vẽ đồ thị hàm số, ta cần xác định:

• Các điểm cực trị: (0; 2) và (2; -2).
• Giao điểm với trục Oy: f(0) = 2 ⇒ Giao điểm là (0; 2).
• Giao điểm với trục Ox: x³ - 3x² + 2 = 0 ⇔ (x - 1)(x² - 2x - 2) = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = 1 ± √3. Vậy giao điểm là (1; 0), (1 + √3; 0), (1 - √3; 0).

Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.

Kết Luận

Qua lời giải chi tiết trên, chúng ta đã nắm vững cách giải Câu 19 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài tập này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính đơn điệu, cực trị và cách vẽ đồ thị hàm số bậc ba.

Các Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác.

Tusach.vn hy vọng bài giải này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học tập!