Câu 40 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

\(2{\sin ^2}x - 3\cos x = 2,0^\circ \le x \le 360^\circ \)

Lời giải chi tiết:

\(2{\sin ^2}x - 3\cos x = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - 3\cos x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}x - 3\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 3\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\cos x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\2\cos x + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = - \frac{3}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = {90^0} + k{180^0},k \in Z\\{0^0} \le x \le {360^0}\\ \Leftrightarrow {0^0} \le {90^0} + k{180^0} \le {360^0}\\ \Leftrightarrow - {90^0} \le k{180^0} \le {270^0}\\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\end{array}\)

Mà \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\)

+) Với k=0 thì \(x = {90^0}\)

+) Với k=1 thì \(x = {270^0}\)

Vậy với điều kiện \(0^0≤ x ≤ 360^0\), phương trình có hai nghiệm là \(x = 90^0\) và \(x = 270^0\).

\(\tan x + 2\cot x = 3,180^\circ \le x \le 360^\circ \)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(\sin x ≠ 0\) và \(\cos x ≠ 0\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}\tan x + 2\cot x = 3\\ \Leftrightarrow \tan x + \frac{2}{{\tan x}} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\tan }^2}x + 2 - 3\tan x}}{{\tan x}} = 0\\ \Rightarrow {\tan ^2}x - 3\tan x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

+) \( \tan x = 1 ⇔ x = 45^0 + k180^0\).

\(\begin{array}{l}{180^0} \le x \le {360^0}\\ \Rightarrow {180^0} \le {45^0} + k{180^0} \le {360^0}\\ \Leftrightarrow {135^0} \le k{180^0} \le {315^0}\\ \Leftrightarrow \frac{3}{4} \le k \le \frac{7}{4} \Rightarrow k = 1\end{array}\)

Có một nghiệm thỏa mãn \(180^0\le {\rm{ }}x{\rm{ }} \le {\rm{ }}360^0\), ứng với \(k = 1\) là \(x = 225^0\)

+) \( \tan x = 2 ⇔ x = α + k180^0\) với \(\tan α = 2\).

Ta có thể chọn \(\alpha \approx {63^0}26'\)

\(\begin{array}{l}{180^0} \le x \le {360^0}\\ \Rightarrow {180^0} \le {63^0}26' + k{180^0} \le {360^0}\\ \Leftrightarrow {116^0}34' \le k{180^0} \le {296^0}34'\\ \Leftrightarrow 0,64 < k < 1,65 \Rightarrow k = 1\end{array}\)

Vậy có một nghiệm (gần đúng) thỏa mãn \(180^0\le {\rm{ }}x{\rm{ }} \le {\rm{ }}360^0\) là :

\(x = \alpha + {180^0} \approx {243^0}26'\)

Kết luận :

Với điều kiện \(180^0\le {\rm{ }}x{\rm{ }} \le {\rm{ }}360^0\), phương trình có hai nghiệm \(x = 225^0\) và \(x \approx {243^0}26'\).