Câu 37 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao
Tổng quan nội dung
Giải Bài Tập Hình Học 11 Nâng Cao - Câu 37 Trang 68
Câu 37 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các vấn đề thực tế.
tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rẳng a. mp(BDA’) // mp(B’D’C) b.Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm G1, G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C
LG a
mp(BDA’) // mp(B’D’C)
Phương pháp giải:
Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (Q) thì (P)//(Q).
Lời giải chi tiết:
Chứng minh ( BDA’) // (B’D’C)
Tứ giác BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên : BD // B’D’ và DA’ // B’C
\(BD//B'D' \subset \left( {B'D'C} \right)\)\( \Rightarrow BD//\left( {B'D'C} \right)\)
\(DA'//CB' \subset \left( {B'D'C} \right)\)\( \Rightarrow DA'//\left( {B'D'C} \right)\)
Mà \(BD,DA' \subset \left( {A'BD} \right) \)\(\Rightarrow \left( {A'BD} \right)//\left( {B'D'C} \right)\)
Vậy (BDA’) // (B’D’C).
LG b
Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm G1, G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C
Lời giải chi tiết:
Chứng minh G1 , G2 ∈ AC’
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.
Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi G1 , G2 lần lượt là giao điểm của AC’ với A’O và O’C.
Ta chứng minh G1, G2 lần lượt là trọng tâm của ∆A’BD và ∆CB’D’.
Thật vậy, ta có ∆G1OA đồng dạng ∆G1A’C’ ( vì AC // A’C’)
\( \Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A'{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}\)
⇒ G1 là trọng tâm ∆A’BD.
Tương tự, G2 là trọng tâm ∆CB’D’. Vậy AC’ đi qua G1, G2 .
LG c
G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau
Lời giải chi tiết:
Chứng minh AG1 = G1G2 = G2C’
Theo câu trên , ta có:
\({{A{G_1}} \over {{G_1}C'}} = {{AO} \over {A'C'}} = {1 \over 2}\) ( vì ∆G1OA đồng dạng ∆G1A’C’) \( \Rightarrow A{G_1} = {1 \over 3}AC'\) (1)
Tương tự: \({{C'{G_2}} \over {{G_2}A}} = {{C'O'} \over {CA}} = {1 \over 2}\) ( vì ∆G2C’O' đồng dạng ∆G2AC) \( \Rightarrow C'{G_2} = {1 \over 3}AC'\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AG1 = G1G2 = G2C’.
LG d
Các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’,B’B cùng nằm trên một mặt phẳng
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N, P, Q, S, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DD’, C’D’, C’B’, B’B.
Ta có: \(\left\{ {\matrix{ {MN//BD} \cr {SP//BD} \cr } } \right. \Rightarrow MN//SP\)
Gọi (α) = (MN, SP)
Ta có : \(\left\{ {\matrix{ {PQ//DC'} \cr {MS//AB'} \cr } } \right. \Rightarrow PQ//MS\)
( vì DC’ // AB’)
⇒ PQ ⊂ (α) do đó Q ∈ (α).
Tương tự: QR // MN ⇒ QR ⊂ (α) do đó R ∈ (α).
Vậy M, N, P, Q, R, S ∈ (α).
Mặt khác vì \(\left\{ {\matrix{ {MS//AB'} \cr {NP//AD'} \cr } } \right.\) nên (MNPQRS) // (AB’D').
Giải Chi Tiết Câu 37 Trang 68 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
Câu 37 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh các bài toán liên quan đến việc xác định mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ chỉ phương của đường thẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, điều kiện song song, vuông góc, cắt nhau giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Tóm Tắt Lý Thuyết Quan Trọng
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là một vectơ song song với đường thẳng đó.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là một vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó.
- Điều kiện song song: Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Điều kiện vuông góc: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Điều kiện cắt nhau: Đường thẳng cắt mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng không vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Hướng Dẫn Giải Câu 37 Trang 68 (Ví dụ minh họa - cần thay thế bằng nội dung cụ thể của đề bài)
Giả sử đề bài yêu cầu xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Các bước giải như sau:
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d: Ví dụ: a = (1, 2, 3)
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Ví dụ: n = (4, 5, 6)
- Tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng công thức: cos(α) = |a.n| / (|a| * |n|)
- Tính góc α:α = arccos(cos(α))
Các Dạng Bài Tập Liên Quan
Ngoài việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, câu 37 trang 68 và các bài tập tương tự có thể yêu cầu:
- Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng (song song, vuông góc, cắt nhau).
- Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Mẹo Giải Bài Tập Hình Học Không Gian
Để giải tốt các bài tập hình học không gian, bạn nên:
- Vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.
- Nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm hình học để kiểm tra kết quả.
Bảng Tổng Hợp Công Thức Quan Trọng
| Công Thức | Mô Tả |
|---|---|
| a.b = |a| * |b| * cos(θ) | Tích vô hướng của hai vectơ |
| |a| = √(x2 + y2 + z2) | Độ dài của vectơ |
| cos(α) = |a.n| / (|a| * |n|) | Cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng |
Hy vọng với lời giải chi tiết và những kiến thức bổ ích trên, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết Câu 37 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!