Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Lý thuyết và Bài tập
Bài 3 trong chương trình Hình học không gian lớp 11 tập trung vào một khái niệm nền tảng: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Việc nắm vững kiến thức này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và nhiều bài toán phức tạp khác.
1. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều này có thể được chứng minh thông qua các định lý và tính chất hình học.
- Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
- Định lý 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
2. Tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có những tính chất đặc biệt:
- Chỉ có một đường thẳng duy nhất đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
- Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì hình chiếu vuông góc của đường thẳng đó lên mặt phẳng là một điểm.
3. Ứng dụng của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong giải toán
Kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học không gian:
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng định lý về hình chiếu vuông góc để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Sử dụng đường vuông góc để tính khoảng cách ngắn nhất từ một điểm đến mặt phẳng.
- Chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian: Áp dụng các định lý và tính chất để chứng minh các mối quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.
4. Bài tập minh họa
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 90 độ.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = b, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = h. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD).
Giải: Gọi CH là đường cao hạ từ C xuống AD. Khi đó, CH = BC = b. Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với CH. Do đó, khoảng cách từ C đến (SAD) là độ dài đoạn thẳng d, với d thỏa mãn: 1/d2 = 1/SA2 + 1/CH2. Suy ra d = √(SA2CH2)/(SA2+CH2) = (bh)/√(h2+b2).
5. Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo. Tusach.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng với các mức độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.
6. Tổng kết
Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một bài học quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết, tính chất và ứng dụng của khái niệm này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách tự tin và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên và đừng ngần ngại tìm kiếm sự giúp đỡ khi gặp khó khăn. Chúc bạn học tốt!
