Giải Câu 16 Trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Câu 16 Trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài tập Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Cho dãy số (un) xác định bởi

LG a

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

Lời giải chi tiết:

Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\)

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

LG b

Chứng minh rằng

\({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\) (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 - 1} \right){.2^1}.\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = 1 + \left( {k - 1} \right){2^k}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp, ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} \)

\(= 1 + \left( {k - 1} \right){.2^k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} \)

\( = 1 + k{.2^k} - {2^k} + k{.2^k} + {2^k} \)

\(= 1 + 2k{.2^k}= 1 + k{.2^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).

Giải Chi Tiết Câu 16 Trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa hàm số đơn điệu: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2). Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) ≥ f(x2).
Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu: Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu. Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số đồng biến trên (a, b). Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số nghịch biến trên (a, b).
Cách tìm đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp.

Ví dụ minh họa (giả định nội dung câu 16):

Đề bài: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Giải:

Tính đạo hàm: y' = 3x² - 6x.
Xét dấu đạo hàm: 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Lập bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞
y' + - +
y ↗ ↘ ↗
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
y	↗	↘	↗

Mẹo giải nhanh và hiệu quả

Để giải nhanh các bài toán xét tính đơn điệu, bạn nên:

Tính đạo hàm một cách chính xác.
Xét dấu đạo hàm bằng cách tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Lập bảng biến thiên để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. tusach.vn cung cấp đầy đủ các bài tập và lời giải chi tiết để bạn tham khảo.

Tại sao nên chọn tusach.vn?

tusach.vn là website học tập trực tuyến uy tín, cung cấp:

Lời giải chi tiết, dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK.
Đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, nhiệt tình hỗ trợ.
Giao diện thân thiện, dễ sử dụng.
Cập nhật kiến thức liên tục.

Hãy truy cập tusach.vn ngay hôm nay để học tập hiệu quả và đạt kết quả cao!

Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao