Giải Câu 25 Trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Câu 25 Trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài tập Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.

Tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = {x^2}\) , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).

Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x₀ để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).

Lời giải chi tiết

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\) và gọi M₀ là điểm thuộc (P) với hoành độ x₀. Khi đó tọa độ của điểm M₀ là \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\,hay\,\left( {{x_0};x_0^2} \right)\)

Cách 1 : Ta có: \(y’ = 2x\). Phương trình tiếp điểm của (P) tại điểm M₀ là

\(y = 2{x_0}\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 \Leftrightarrow y = 2{x_0}x - x_0^2\)

Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1) nên ta có :

\( - 1 = 2{x_0}.0 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\)

+ Với x₀ = 1 thì f(x₀) = 1, f ’(x₀) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

\(y = 2\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)

+ Với x₀ = -1 thì f(x₀) = 1, f ’(x₀) = -2

và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

\(y = - 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = - 2x - 1\)

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua

A với các phương trình tương ứng là: \(y = ±2x – 1\)

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0 ; -1) với hệ số góc k là :

\(y = kx - 1\)

Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm M₀ điều kiện cần và đủ là:

\(\left\{ {\matrix{ {f\left( {{x_0}} \right) = k{x_0} - 1} \cr {f'\left( {{x_0}} \right) = k} \cr } } \right.\,hay\,\left\{ {\matrix{ {x_0^2 = k{x_0} - 1} \cr {2{x_0} = k} \cr } } \right.\)

Khử x₀ từ hệ này ta tìm được \(k = ±2\).

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(0 ; -1) với các phương trình là :

\(y = \pm 2x - 1\)

Giải Chi Tiết Câu 25 Trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và các kiến thức liên quan để bạn có thể hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán này.

Nội Dung Bài Toán

Thông thường, câu 25 trang 205 sẽ đưa ra một hàm số cụ thể và yêu cầu:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời Giải Chi Tiết

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tập xác định: Tìm các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa.
Bước 2: Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm bậc nhất (y') và đạo hàm bậc hai (y'') của hàm số.
Bước 3: Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm nghiệm. Sau đó, sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Bước 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Xét dấu đạo hàm bậc nhất trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến (y' > 0) và nghịch biến (y' < 0).
Bước 5: Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin đã tìm được (tập xác định, điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến) để vẽ đồ thị hàm số.

Ví Dụ Minh Họa

Giả sử hàm số cho là: y = x³ - 3x² + 2

Bước 1: Tập xác định: D = R

Bước 2: Đạo hàm:

y' = 3x² - 6x
y'' = 6x - 6

Bước 3: Điểm cực trị:

Giải phương trình y' = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2

Tại x = 0: y'' = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2

Tại x = 2: y'' = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y = -2

Bước 4: Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Khoảng nghịch biến: (-∞; 0) và (2; +∞)
Khoảng đồng biến: (0; 2)

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải bài tập về khảo sát hàm số, bạn cần chú ý:

Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm chính xác.
Sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định đúng loại cực trị.
Vẽ đồ thị hàm số một cách cẩn thận.

Tusach.vn - Nguồn Tài Liệu Học Tập Tin Cậy

Tusach.vn là website cung cấp lời giải chi tiết, đáp án và tài liệu học tập cho các môn học từ lớp 6 đến lớp 12. Chúng tôi luôn cập nhật những thông tin mới nhất và chính xác nhất để giúp các bạn học sinh học tập tốt hơn. Hãy truy cập tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu hữu ích khác!

Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao